14.2.2 (4 Identifications du fibré des symboles )>). On peut écrire le fibré Sk(E, F) =
6P(Pk(T(X); E); F) de diverses manières. Tout d'abord, si x E X, un élément de
Pk(T,@) ; Ex) s'identifie (1 3.1.2) à un élément de 6P(TSk(T,(X)) ; Ex). On obtient ainsi
des identifications de fibrés vectoriels
et, en appliquant le foncteur vectoriel M ++ 2 ( M ; F) = M* @ F, on obtient:
Sk(E, F) = TSk(T@)) @ E* @ F = TSk(T(X)) @ 9 ( E ; F ) .
On peut encore transformer l'expression précédente. Si M et N sont deux fibrés
vectoriels, notons Symk(M; N) le sous-fibré de P(M, . . . , M; N) formé des applications k-linéaires symétriques. On a un isomorphisme canonique
Symk(M; N) -t Symk(M; Kx) @ N;
d'autre part, la dualité entre Bk M et Qk M* identifie Symk(M; KK à TSk(M*). On
obtient ainsi une identification
En appliquant cette formule à M = T e ) * et N = 9 ( E ; F), on a:
Sk(E, F) = TSk(T(X)) @ 9 ( E ; F) = Symk(T(X)*; 2 ( E ; F)).
Supposons K de caractéristique O ou > k. Si u est une application k-linéaire symétrique, notons fi l'application polynomiaie
correspondante. L'application u - iï définit un isomorphisme
Sk@, F) = Symk(T(x)*, g ( E ; F)) -+ Pk(T@)*; p @ ; F ) ) .
Ainsi, tout élément u de Sk(E, F),, avec x E X, peut être identifié à une application
polynomiale homogène e de degré k de T,(X)* dans 2(E,; F,).
14.2.3 (<( Calcul du symbole d'un opérateur différentiel )>). Soit x E X et soit D un
opérateur différentiel de type E -+ F, d'ordre < k, défini dans un voisinage ouvert de
x et de classe Cr-&. On va expliciter la valeur uk(D)(x) du symbole de D en x. Considérons-le comme élément de Symk(T,(X)*; 2(E,; F,)) (cf. 14.2.2). Soient w,, . . . , w,
des covecteurs en x et choisissons des fonctions f,, . . . , f, de classe Cr dans un
voisinage ouvert U de x telles que dxA = wi pour i = 1,. . ., k. Posons
D' = (- 1)"ad (fk) . . . adCfi)D (cf. 14.1.10, a).
L'opérateur D' est d'ordre < 0; c'est une section de P ( E ; F)IU. La valeur de D' en
x est un élément X(w,, . . ., wk) de 6P(E,; F,) qui ne dépend que de (w,, . . ., w,).
L'application X ainsi définie est symétrique. Elle est égale au symbole uk(D)(x) de
D en x.
Supposons K = R ou C, et explicitons uk@)(x) considéré comme application
polynomiale homogène de degré k de T,(X)* dans 6P(E,; F,) (cf. 14.2.2).
Soient w E T,(X)* et v E Ex; choisissons une fonction f de classe Cr dans un voisinage
6P(Pk(T(X); E); F) de diverses manières. Tout d'abord, si x E X, un élément de
Pk(T,@) ; Ex) s'identifie (1 3.1.2) à un élément de 6P(TSk(T,(X)) ; Ex). On obtient ainsi
des identifications de fibrés vectoriels
et, en appliquant le foncteur vectoriel M ++ 2 ( M ; F) = M* @ F, on obtient:
Sk(E, F) = TSk(T@)) @ E* @ F = TSk(T(X)) @ 9 ( E ; F ) .
On peut encore transformer l'expression précédente. Si M et N sont deux fibrés
vectoriels, notons Symk(M; N) le sous-fibré de P(M, . . . , M; N) formé des applications k-linéaires symétriques. On a un isomorphisme canonique
Symk(M; N) -t Symk(M; Kx) @ N;
d'autre part, la dualité entre Bk M et Qk M* identifie Symk(M; KK à TSk(M*). On
obtient ainsi une identification
En appliquant cette formule à M = T e ) * et N = 9 ( E ; F), on a:
Sk(E, F) = TSk(T(X)) @ 9 ( E ; F) = Symk(T(X)*; 2 ( E ; F)).
Supposons K de caractéristique O ou > k. Si u est une application k-linéaire symétrique, notons fi l'application polynomiaie
correspondante. L'application u - iï définit un isomorphisme
Sk@, F) = Symk(T(x)*, g ( E ; F)) -+ Pk(T@)*; p @ ; F ) ) .
Ainsi, tout élément u de Sk(E, F),, avec x E X, peut être identifié à une application
polynomiale homogène e de degré k de T,(X)* dans 2(E,; F,).
14.2.3 (<( Calcul du symbole d'un opérateur différentiel )>). Soit x E X et soit D un
opérateur différentiel de type E -+ F, d'ordre < k, défini dans un voisinage ouvert de
x et de classe Cr-&. On va expliciter la valeur uk(D)(x) du symbole de D en x. Considérons-le comme élément de Symk(T,(X)*; 2(E,; F,)) (cf. 14.2.2). Soient w,, . . . , w,
des covecteurs en x et choisissons des fonctions f,, . . . , f, de classe Cr dans un
voisinage ouvert U de x telles que dxA = wi pour i = 1,. . ., k. Posons
D' = (- 1)"ad (fk) . . . adCfi)D (cf. 14.1.10, a).
L'opérateur D' est d'ordre < 0; c'est une section de P ( E ; F)IU. La valeur de D' en
x est un élément X(w,, . . ., wk) de 6P(E,; F,) qui ne dépend que de (w,, . . ., w,).
L'application X ainsi définie est symétrique. Elle est égale au symbole uk(D)(x) de
D en x.
Supposons K = R ou C, et explicitons uk@)(x) considéré comme application
polynomiale homogène de degré k de T,(X)* dans 6P(E,; F,) (cf. 14.2.2).
Soient w E T,(X)* et v E Ex; choisissons une fonction f de classe Cr dans un voisinage