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VARIÉTÉS DIF&ZENTIEL.LES ET ANALYTIQUES
§ 14
Si ki G k pour tout i, les projections rk. Pk(Ei) -+ Pk~(Ei) permettent d'identifier le
fibré L(k,, . . . , kn) à un sous-fibré du fibré L(k) = L(k, . . . , k). Ii existe un plus petit
sous-fibré M(k) de L(k) contenant tous les sous-fibrés L(k,, . . ., k,), pour
k, + - - . + kn = k. Une section H de M(k) est appelée un opérateur n-dzrérentiel
(ou multidzfférentiel) de type (El, . . . , En) -+ F et d'ordre < k. Si si (1 < i < n) est une
section de classe Cm(m E NB, m 2 k) de E, sur un ouvert U de X, on définit
H&, . . . , s,) = H(sl, . . . , sn) comme l'image par H de la section jk(sl) @ - . . @ jk(sn)
du fibré
Pk@1) 63. . . €3 Pk(En).
C'est une section de FIU. Si H est de classe Ch, cette section est de classe CP avec
p = inf(m - k, h).
Lorsque El, . . . , En et F sont égaux à Kx, on dit que H est un opérateur n-différentiel (ou multidifférentiel) scalaire.
Exemple. - Soient J un ensemble fini, X un ouvert de KJ. Soit H un opérateur
n-différentiel scalaire d'ordre < k sur X. Il existe une famille unique de fonctions
scalaires
n
( 1 ) - 7 a . . . . . a n 9
2 Ia(i)I G k
i = 1
sur X telles que
HxCl;, . . . , fn) = 2 c(a(l), . . . , a(n)' Aa(l)Cf,). . .Aa(n)(Jn)
a(l).. . . . a(n)
pour toute famille fi,. . . , fn) de fonctions de classe Ck sur X. Pour que H soit de
classe Ch, il faut et il suffit que les fonctions c(a(l), . . . , a(n)) soient de classe Ch.
14*2. Symboles
14.2.1. Soit k un entier positif Gr. Considérons la suite exacte
du no 12.6.8, où l'on a posé j = rk. '"-l. En appliquant le foncteur vectoriel
M H 9 ( M ; F) à cette suite, on obtient la suite exacte
O + 9(Pk-'(E); F) 9(Pk(E); F) 2 9(Pk(T(X); E); F) -t O
que l'on peut écrire:
O -+ Dk-l(E, F) & Dk(E, F) 3 Sk(E, F) +O
en posant
Sk@, F) = 9(P,V(x) ; El; F).
L'homomorphisme j' = 90'; Id,) est l'inclusion canonique de DL-l(E, F) dans
Dk(E, F); l'homomorphisme a, est égal par définition à P ( L ; IdF). Si D est un opérateur différentiel de type E -+ F et d'ordre < k, son image par a, est une section ak(D)
de Sk(E, F) que Son appelle le k-symbole (ou simplement le symbole) de D; on a
ok@) = O si et seulement si D est d'ordre < k - 1. Si D est de classe Ch, il en est de
même de son symbole.
VARIÉTÉS DIF&ZENTIEL.LES ET ANALYTIQUES
§ 14
Si ki G k pour tout i, les projections rk. Pk(Ei) -+ Pk~(Ei) permettent d'identifier le
fibré L(k,, . . . , kn) à un sous-fibré du fibré L(k) = L(k, . . . , k). Ii existe un plus petit
sous-fibré M(k) de L(k) contenant tous les sous-fibrés L(k,, . . ., k,), pour
k, + - - . + kn = k. Une section H de M(k) est appelée un opérateur n-dzrérentiel
(ou multidzfférentiel) de type (El, . . . , En) -+ F et d'ordre < k. Si si (1 < i < n) est une
section de classe Cm(m E NB, m 2 k) de E, sur un ouvert U de X, on définit
H&, . . . , s,) = H(sl, . . . , sn) comme l'image par H de la section jk(sl) @ - . . @ jk(sn)
du fibré
Pk@1) 63. . . €3 Pk(En).
C'est une section de FIU. Si H est de classe Ch, cette section est de classe CP avec
p = inf(m - k, h).
Lorsque El, . . . , En et F sont égaux à Kx, on dit que H est un opérateur n-différentiel (ou multidifférentiel) scalaire.
Exemple. - Soient J un ensemble fini, X un ouvert de KJ. Soit H un opérateur
n-différentiel scalaire d'ordre < k sur X. Il existe une famille unique de fonctions
scalaires
n
( 1 ) - 7 a . . . . . a n 9
2 Ia(i)I G k
i = 1
sur X telles que
HxCl;, . . . , fn) = 2 c(a(l), . . . , a(n)' Aa(l)Cf,). . .Aa(n)(Jn)
a(l).. . . . a(n)
pour toute famille fi,. . . , fn) de fonctions de classe Ck sur X. Pour que H soit de
classe Ch, il faut et il suffit que les fonctions c(a(l), . . . , a(n)) soient de classe Ch.
14*2. Symboles
14.2.1. Soit k un entier positif Gr. Considérons la suite exacte
du no 12.6.8, où l'on a posé j = rk. '"-l. En appliquant le foncteur vectoriel
M H 9 ( M ; F) à cette suite, on obtient la suite exacte
O + 9(Pk-'(E); F) 9(Pk(E); F) 2 9(Pk(T(X); E); F) -t O
que l'on peut écrire:
O -+ Dk-l(E, F) & Dk(E, F) 3 Sk(E, F) +O
en posant
Sk@, F) = 9(P,V(x) ; El; F).
L'homomorphisme j' = 90'; Id,) est l'inclusion canonique de DL-l(E, F) dans
Dk(E, F); l'homomorphisme a, est égal par définition à P ( L ; IdF). Si D est un opérateur différentiel de type E -+ F et d'ordre < k, son image par a, est une section ak(D)
de Sk(E, F) que Son appelle le k-symbole (ou simplement le symbole) de D; on a
ok@) = O si et seulement si D est d'ordre < k - 1. Si D est de classe Ch, il en est de
même de son symbole.