Si U est un ouvert de X, et si s E %(u), on a
(D" 0 Df)(s) = D"(D1(s))
(oh les deux membres sont des sections de G sur U); cela justifie la terminologie et la
notation adoptées.
Supposons maintenant D" de classe Ch", avec h" E NK u (O} et h" < r - k". Alors
D" O D' est de classe Ch, avec h = inf(h' - k", h").
Supposons que l'on ait E = F = Gy et que k' < h", auquel cas D' O D" est défini.
Alors D' 0 D" - D" 0 D' est un opérateur différentiel de type E -+E et d'ordre
< k - 1 ; on le note [D', D"].
14.1.9 (<< Associativité b
)
)
.
Les notations et hypothèses étant celles de 14.1.8, soit H un
fibré vectoriel de classe Cr et de base X, et soit D " un opérateur différentiel sur X, de
type G -+ H et d'ordre < k", avec k' + k" + km < r. On suppose que Dr est de classe
Ch', avec h' E NK U (O} et k" + k" < h' G r - k' et que D" est de classe Ch", avec
h" E NK u (O) et km < h" < r - k". Alors les composés
Dm O (D" 0 D') et (Dm o Dr') O D'
sont d é h i s et sont égaux.
14.1 .IO. Exemples
a) Soit U un ouvert de X, soit D E d? h ( ~ ,
F) avec h E NK u (O} et h < r - k, et
soit f E gh+"(U) (resp. f E Vh(U). La multiplication par f dans E (resp. F) est un opérateur différentiel sur U d'ordre < 0, et de type E -+ E (resp. F -+ F), cf. 14.1.2. Les
composés D of et f 0 D sont d é h i s et appartiennent à 9% h ( ~ ;
F); on pose
cf. 14.1.4, (4). On munit ainsi -92 h ( ~ ,
F) d'une structure de gh+"(U)-module à droite
(resp. de gh(U)-module à gauche). La structure de module à gauche coïncide avec
celle de 14.1.1.
b) Supposons r = CO ou r = W. Les opérateurs différentiels de type E + E et de
classe Cr forment une K-algèbre associatiue à élément unité.
c) Prenons pour X un ouvert de Kn. Les opérateurs différentiels scalaires ha
(14.1.6) vérifient les formules
Aa 0 AB = ((a, @)Ae* ' .
Ils commutent entre eux. Notons Di l'opérateur A"; (a i-ème dérivée partielle >>). Si K
est de caractéristique 0, on a
Si K est de caractéristique p # O, on a Df = O pour tout i.
14.1.1 1 (u Opérateurs multidifférentiels ))). Soient El, . . . , En des espaces fibrés vectoriels de classe Cr et de base X, et soient k, k,, . . . , k, des entiers appartenant à (O, r).
Posons
L(kl, . . . , k,) = .9(Pk1(El) ég - - ég Pkn(En); F).
(D" 0 Df)(s) = D"(D1(s))
(oh les deux membres sont des sections de G sur U); cela justifie la terminologie et la
notation adoptées.
Supposons maintenant D" de classe Ch", avec h" E NK u (O} et h" < r - k". Alors
D" O D' est de classe Ch, avec h = inf(h' - k", h").
Supposons que l'on ait E = F = Gy et que k' < h", auquel cas D' O D" est défini.
Alors D' 0 D" - D" 0 D' est un opérateur différentiel de type E -+E et d'ordre
< k - 1 ; on le note [D', D"].
14.1.9 (<< Associativité b
)
)
.
Les notations et hypothèses étant celles de 14.1.8, soit H un
fibré vectoriel de classe Cr et de base X, et soit D " un opérateur différentiel sur X, de
type G -+ H et d'ordre < k", avec k' + k" + km < r. On suppose que Dr est de classe
Ch', avec h' E NK U (O} et k" + k" < h' G r - k' et que D" est de classe Ch", avec
h" E NK u (O) et km < h" < r - k". Alors les composés
Dm O (D" 0 D') et (Dm o Dr') O D'
sont d é h i s et sont égaux.
14.1 .IO. Exemples
a) Soit U un ouvert de X, soit D E d? h ( ~ ,
F) avec h E NK u (O} et h < r - k, et
soit f E gh+"(U) (resp. f E Vh(U). La multiplication par f dans E (resp. F) est un opérateur différentiel sur U d'ordre < 0, et de type E -+ E (resp. F -+ F), cf. 14.1.2. Les
composés D of et f 0 D sont d é h i s et appartiennent à 9% h ( ~ ;
F); on pose
cf. 14.1.4, (4). On munit ainsi -92 h ( ~ ,
F) d'une structure de gh+"(U)-module à droite
(resp. de gh(U)-module à gauche). La structure de module à gauche coïncide avec
celle de 14.1.1.
b) Supposons r = CO ou r = W. Les opérateurs différentiels de type E + E et de
classe Cr forment une K-algèbre associatiue à élément unité.
c) Prenons pour X un ouvert de Kn. Les opérateurs différentiels scalaires ha
(14.1.6) vérifient les formules
Aa 0 AB = ((a, @)Ae* ' .
Ils commutent entre eux. Notons Di l'opérateur A"; (a i-ème dérivée partielle >>). Si K
est de caractéristique 0, on a
Si K est de caractéristique p # O, on a Df = O pour tout i.
14.1.1 1 (u Opérateurs multidifférentiels ))). Soient El, . . . , En des espaces fibrés vectoriels de classe Cr et de base X, et soient k, k,, . . . , k, des entiers appartenant à (O, r).
Posons
L(kl, . . . , k,) = .9(Pk1(El) ég - - ég Pkn(En); F).