pour toute partie ouverte U de X. Il existe alors un élément D de 92 h(E, F) et un seul
tel que les DU soient les applications correspondantes.
Lorsque m = oo ou w, on a h = m et l'on peut remplacer les conditions (3) et
(3') par l'une des conditions (4) et (5).
14.1.6 (a Opérateurs scalaires ))). Supposons que E et F soient égaux au fibré trivial
Kx. Un opérateur différentiel de type E -+ F s'appelle alors un opérateur différentiel
scalaire ou simplement un opérateur différentiel; s'il est d'ordre < k, c'est une section
du fibré Y(Pk@); Kx) = PL&)*, dual du fibré Pk(X); en utilisant l'isomorphisme
i-1. . Pk(X)* -+
(cf. 13.2.5),
on voit qu'un opérateur différentiel scalaire d'ordre < k s'identifie à une section du
fibré vectoriel TCk)(X), i.e. à un champ de distributions ponctuelles d'ordre < k.
Prenons en particulier pour X un ouvert de Kn, où n est un entier 2 O. Les champs
de distributions ponctuelles
Au: x H A:
(cf. 13.2.6)
sont des opérateurs différentiels scalaires de classe Ca. Pour tout h E N, , les A" pour
(la] , ( k) forment une base du Vh(X)-module -9% h(Kx, Kx).
14.1.7 ((( Opérateurs différentiels complexes sur une variété réelle )>). Supposons K = R
et que les fibrés vectoriels E et F soient munis de structures complexes (8.8.1); soit k un
entier tel que O < k Gr. Le fibré Pk(E) est alors muni d'une structure complexe
(12.6.3); le fibré Zc(Pk(E); F) (7.8.5) des applications linéaires complexes de Pk(E)
dans F est un sous-fibré vectoriel de Y(Pk(~); F) = D~(E, F); on le note Dz(E, F).
Une section de Dg(E, F) est appelée un opérateur différentiel complexe, de type E -+ F
et d'ordre < k. Si h E NK et h < r - k, et si U est un ouvert de X, on note de même
.9& h(E, F)C l'espace des sections de classe Ch de Dz(E, F) sur U; c'est un C-espace
vectoriel. Les autres définitions et résultats de ce paragraphe s'étendent de manière
analogue aux opérateurs différentiels complexes; nous en laissons la formulation au
lecteur.
14.1.8 (a Composition )>). Soit G un fibré vectoriel de classe Cr et de base X. Soient k'
et k" des entiers positifs de somme k < r, et soit D' (resp. D") un opérateur différentiel
sur X, de type E -+ F (resp. de type F -+ G), d'ordre G k' (resp.
est de classe Ch'-"" (12.6.3). Soit l'homomorphisme canonique de Pk(E) dans
Pk"(Pk'(E)), cf. 12.6.5. En composant les applications
Pk(E) -f: Pk"(Pk'(E)) 2 Pk*(F) % G,
on obtient un opérateur différentiel de type E -t G et d'ordre G k. Cet opérateur est
dit le composé de D" et D'; on le note D" o D' .
l Il suffit d'ailleurs que la condition (3' ) soit vérifiée pour une famille (&) de systèmes de coordonnées et une famille de repères ( s , ) dont les domaines recouvrent X.
tel que les DU soient les applications correspondantes.
Lorsque m = oo ou w, on a h = m et l'on peut remplacer les conditions (3) et
(3') par l'une des conditions (4) et (5).
14.1.6 (a Opérateurs scalaires ))). Supposons que E et F soient égaux au fibré trivial
Kx. Un opérateur différentiel de type E -+ F s'appelle alors un opérateur différentiel
scalaire ou simplement un opérateur différentiel; s'il est d'ordre < k, c'est une section
du fibré Y(Pk@); Kx) = PL&)*, dual du fibré Pk(X); en utilisant l'isomorphisme
i-1. . Pk(X)* -+
(cf. 13.2.5),
on voit qu'un opérateur différentiel scalaire d'ordre < k s'identifie à une section du
fibré vectoriel TCk)(X), i.e. à un champ de distributions ponctuelles d'ordre < k.
Prenons en particulier pour X un ouvert de Kn, où n est un entier 2 O. Les champs
de distributions ponctuelles
Au: x H A:
(cf. 13.2.6)
sont des opérateurs différentiels scalaires de classe Ca. Pour tout h E N, , les A" pour
(la] , ( k) forment une base du Vh(X)-module -9% h(Kx, Kx).
14.1.7 ((( Opérateurs différentiels complexes sur une variété réelle )>). Supposons K = R
et que les fibrés vectoriels E et F soient munis de structures complexes (8.8.1); soit k un
entier tel que O < k Gr. Le fibré Pk(E) est alors muni d'une structure complexe
(12.6.3); le fibré Zc(Pk(E); F) (7.8.5) des applications linéaires complexes de Pk(E)
dans F est un sous-fibré vectoriel de Y(Pk(~); F) = D~(E, F); on le note Dz(E, F).
Une section de Dg(E, F) est appelée un opérateur différentiel complexe, de type E -+ F
et d'ordre < k. Si h E NK et h < r - k, et si U est un ouvert de X, on note de même
.9& h(E, F)C l'espace des sections de classe Ch de Dz(E, F) sur U; c'est un C-espace
vectoriel. Les autres définitions et résultats de ce paragraphe s'étendent de manière
analogue aux opérateurs différentiels complexes; nous en laissons la formulation au
lecteur.
14.1.8 (a Composition )>). Soit G un fibré vectoriel de classe Cr et de base X. Soient k'
et k" des entiers positifs de somme k < r, et soit D' (resp. D") un opérateur différentiel
sur X, de type E -+ F (resp. de type F -+ G), d'ordre G k' (resp.
est de classe Ch'-"" (12.6.3). Soit l'homomorphisme canonique de Pk(E) dans
Pk"(Pk'(E)), cf. 12.6.5. En composant les applications
Pk(E) -f: Pk"(Pk'(E)) 2 Pk*(F) % G,
on obtient un opérateur différentiel de type E -t G et d'ordre G k. Cet opérateur est
dit le composé de D" et D'; on le note D" o D' .
l Il suffit d'ailleurs que la condition (3' ) soit vérifiée pour une famille (&) de systèmes de coordonnées et une famille de repères ( s , ) dont les domaines recouvrent X.