14.1.3 (<( Affaiblissement de structure ))). Supposons K = R, et soit r' E NE avec r' < r.
Soient X', E' et F' la variété et les fibrés vectoriels de classe Cr' obtenus par affaiblissement de structure à partir de X, E, et F respectivement. Soit k un entier tel que
O < k < r'. Alors Pk(E') est le fibré de classe Cr'-' déduit de Pk(E) par affaiblissement
de structure, et l'on a un résultat analogue pour Dk(E', F'). En particulier, si U est
ouvert dans X, et si O < h < r - k', on a 9 2
F') = 9 : h(E, F ) .
14.1.4. Soit D un opérateur différentiel sur X, de type E -+ F, d'ordre < k (où
O < k < r). Soit U un ouvert de X, et soit s une section, de classe Cm, de E sur U,
avec m E NK U {O) et k < rn < r. Alors jk(s) est une section de classe Cm-'" de Pk(E)
sur U (12.6.1); son image par D est notée DU(s), ou D(s). C'est une section de FIU.
Supposons D de classe Ch, où h = m - k. Alors DU(s) est de classe Ch, et les applications
Du: iErn(U) 4 %?O
ainsi obtenues jouissent des propriétés suivantes:
(1) Du est K-linéaire.
(2) Pour tout s E IÉrn(U) et tout ouvert V de U, on a DV(slV) = DU(s)lV.
(3) Pour tout s E G(U) et tout x E U tels que jE(s) = O, on a D,(s)(x) = 0.
(3') Pour tout système de coordonnées 4 = (tl,. . ., 5") dans U et tout repère
s = (s,, . . . , sd) de E sur U (7.4.4), il existe des sections ni,, (1 < i < d, cr E Nn, la1 < k)
de F sur U, de classe Ch et telles que, pour toute famille Cfi),
d'éléments de Vm(U),
on ait
~ ~ ( C f i . s ~ ) =
2 A m - n i , . , (cf.13.2.6).
l < f $ d
l < t < d . lalsk
(4) Pour toute fonction f E qrn(U) et toute application B de Y&"' @) dans Y$(F),
notons a d 0 0 l'application
s -y. e(~) - eu. S)
de e ( E )
dans *(F). Alors, pour toute fonction f E V'"(U), il existe un opérateur
différentiel L sur U, de type E -t F, d'ordre < k - 1 et de classe Ch tel que
(ad(f)Du)(s) = LU(s) pour tout s E Y$@).
(5) On a
adCf,). . . adCf,)Du = O quels que soient f,, . . . , fk dans Fm(U).
Si l'on pose 1 = (O,. . ., k} et f, = f G ~
pour toute partie H de 1, la relation précédente équivaut à:
2 (-l)cmmfE.DuV;-E.~) = O
H c I
quelles que soient fo, . . . , fk dans Vm(U) et s dans Y3U).
14.1.5 (G Caractérisation des opérateurs différentiels B
)
. Soient k, rn et h = m - k
comme dans 14.1.4. Pour tout ouvert U de X, soit Du une application de i",(U) dans
iO,h(~). Supposons que les conditions 1,2,3 (resp. 1,2,3') de 14.1.4 soient vérifiées
Soient X', E' et F' la variété et les fibrés vectoriels de classe Cr' obtenus par affaiblissement de structure à partir de X, E, et F respectivement. Soit k un entier tel que
O < k < r'. Alors Pk(E') est le fibré de classe Cr'-' déduit de Pk(E) par affaiblissement
de structure, et l'on a un résultat analogue pour Dk(E', F'). En particulier, si U est
ouvert dans X, et si O < h < r - k', on a 9 2
F') = 9 : h(E, F ) .
14.1.4. Soit D un opérateur différentiel sur X, de type E -+ F, d'ordre < k (où
O < k < r). Soit U un ouvert de X, et soit s une section, de classe Cm, de E sur U,
avec m E NK U {O) et k < rn < r. Alors jk(s) est une section de classe Cm-'" de Pk(E)
sur U (12.6.1); son image par D est notée DU(s), ou D(s). C'est une section de FIU.
Supposons D de classe Ch, où h = m - k. Alors DU(s) est de classe Ch, et les applications
Du: iErn(U) 4 %?O
ainsi obtenues jouissent des propriétés suivantes:
(1) Du est K-linéaire.
(2) Pour tout s E IÉrn(U) et tout ouvert V de U, on a DV(slV) = DU(s)lV.
(3) Pour tout s E G(U) et tout x E U tels que jE(s) = O, on a D,(s)(x) = 0.
(3') Pour tout système de coordonnées 4 = (tl,. . ., 5") dans U et tout repère
s = (s,, . . . , sd) de E sur U (7.4.4), il existe des sections ni,, (1 < i < d, cr E Nn, la1 < k)
de F sur U, de classe Ch et telles que, pour toute famille Cfi),
d'éléments de Vm(U),
on ait
~ ~ ( C f i . s ~ ) =
2 A m - n i , . , (cf.13.2.6).
l < f $ d
l < t < d . lalsk
(4) Pour toute fonction f E qrn(U) et toute application B de Y&"' @) dans Y$(F),
notons a d 0 0 l'application
s -y. e(~) - eu. S)
de e ( E )
dans *(F). Alors, pour toute fonction f E V'"(U), il existe un opérateur
différentiel L sur U, de type E -t F, d'ordre < k - 1 et de classe Ch tel que
(ad(f)Du)(s) = LU(s) pour tout s E Y$@).
(5) On a
adCf,). . . adCf,)Du = O quels que soient f,, . . . , fk dans Fm(U).
Si l'on pose 1 = (O,. . ., k} et f, = f G ~
pour toute partie H de 1, la relation précédente équivaut à:
2 (-l)cmmfE.DuV;-E.~) = O
H c I
quelles que soient fo, . . . , fk dans Vm(U) et s dans Y3U).
14.1.5 (G Caractérisation des opérateurs différentiels B
)
. Soient k, rn et h = m - k
comme dans 14.1.4. Pour tout ouvert U de X, soit Du une application de i",(U) dans
iO,h(~). Supposons que les conditions 1,2,3 (resp. 1,2,3') de 14.1.4 soient vérifiées