$14. Opérateurs différentiels
Dans ce paragraphe, X désigne une variété localement de dimension finie de classe
Cr, où r E NE; on note E et F deux fibrés vectoriels de rang fini de classe Cr et de
base X.
Toutes les variétés et tous les fibrés vectoriels considérés sont supposés localement
de dimension finie.
14.1. Opérateurs dz#ërentiels
14.1.1. Soit k un entier tel que O < k < r, et soit Pk(E) le fibré des jets de sections
d'ordre k de E (12.6.1). Posons
C'est un fibré vectoriel de base X et de classe Cr-k. Une section de ce fibré sur un
ouvert U de X s'identifie à une application
D: Pk(E)IU+ FIU
qui commute à la projection sur U et est linéaire sur chaque fibre; une telle section
est appelée un opérateur dzj5érentiel sur U, de type E -t F, et d'ordre
différentiels sur U, de type E -t F et d'ordre < k, qui sont de classe Ch (comme
sections de Dk(E, F), ou comme morphismes de Pk(E) 1 U dans FIU, cela revient au
même). Si M = Dk(E, F), on a 9Zh(E, F) = Y$(u); c'est un module sur gh(u),
cf. 7.4.1.
Si O < k' < k, le morphisme P. "': Pk(E) -t Pk'(E) (cf. 12.6.6) définit une injection
de DL'@, F) dans Dk(E, F); tout opérateur différentiel d'ordre < k' est ainsi identifié
à un opérateur différentiel d'ordre < k. Un opérateur différentiel d'ordre < k qui n'est
pas d'ordre < k - 1 est dit parfois d'ordre k. Si h E NE u {O} et h < r - k, et si U
est un ouvert de X, on a:
o c 9 U h ( ~ , ~
c B$~(E,F) c...c 9 Z h ( ~ , ~ ) .
Si r = oo ou w, on note 92 '(E, F) la réunion des .$Bkh@, F) pour k 2 O; un
élément de cette réunion s'appelle un opérateur différentiel sur U d'ordre borné (de
type E -t F, de classe Ch) OU parfois simplement un opérateur différentiel sur U.
14.1.2 (<< Opérateurs d'ordre zéro )>). On a PO(E) = E (12.5.1) et DO(E, F) = 9 ( E ; F).
Si U est ouvert dans X, et si h E NE u (O) et h < r, un élément de 9 2 h ( ~ ,
F) est un
morphisme de classe Ch de EIU dans FIU.
Dans ce paragraphe, X désigne une variété localement de dimension finie de classe
Cr, où r E NE; on note E et F deux fibrés vectoriels de rang fini de classe Cr et de
base X.
Toutes les variétés et tous les fibrés vectoriels considérés sont supposés localement
de dimension finie.
14.1. Opérateurs dz#ërentiels
14.1.1. Soit k un entier tel que O < k < r, et soit Pk(E) le fibré des jets de sections
d'ordre k de E (12.6.1). Posons
C'est un fibré vectoriel de base X et de classe Cr-k. Une section de ce fibré sur un
ouvert U de X s'identifie à une application
D: Pk(E)IU+ FIU
qui commute à la projection sur U et est linéaire sur chaque fibre; une telle section
est appelée un opérateur dzj5érentiel sur U, de type E -t F, et d'ordre
différentiels sur U, de type E -t F et d'ordre < k, qui sont de classe Ch (comme
sections de Dk(E, F), ou comme morphismes de Pk(E) 1 U dans FIU, cela revient au
même). Si M = Dk(E, F), on a 9Zh(E, F) = Y$(u); c'est un module sur gh(u),
cf. 7.4.1.
Si O < k' < k, le morphisme P. "': Pk(E) -t Pk'(E) (cf. 12.6.6) définit une injection
de DL'@, F) dans Dk(E, F); tout opérateur différentiel d'ordre < k' est ainsi identifié
à un opérateur différentiel d'ordre < k. Un opérateur différentiel d'ordre < k qui n'est
pas d'ordre < k - 1 est dit parfois d'ordre k. Si h E NE u {O} et h < r - k, et si U
est un ouvert de X, on a:
o c 9 U h ( ~ , ~
c B$~(E,F) c...c 9 Z h ( ~ , ~ ) .
Si r = oo ou w, on note 92 '(E, F) la réunion des .$Bkh@, F) pour k 2 O; un
élément de cette réunion s'appelle un opérateur différentiel sur U d'ordre borné (de
type E -t F, de classe Ch) OU parfois simplement un opérateur différentiel sur U.
14.1.2 (<< Opérateurs d'ordre zéro )>). On a PO(E) = E (12.5.1) et DO(E, F) = 9 ( E ; F).
Si U est ouvert dans X, et si h E NE u (O) et h < r, un élément de 9 2 h ( ~ ,
F) est un
morphisme de classe Ch de EIU dans FIU.