no 7
DiSTRIBUTIONS PONCTUELLES
71
Si q: X - t Y est un morphisme de variétés de classe Cr, les applications
Tc)(q) : F;)(X) -+ T$&,(Y) relatives aux divers points x de X définissent une application linéaire p, de Y(k)@) dans T(k)(Y), qui est un morphisme de cogèbres.
Si X, et X, sont deux variétés de classe Cr, les applications c r i ' (cf. 13.4.5) définissent une application linéaire
qui est injective; c'est un morphisme de cogèbres. Si k = CO ou w, c'est un isomorphisme de cogèbres.
13.6.2. Soit X une variété de classe Cr, et soit V un K-espace vectoriel de dimension
finie. Un élément de Y(')(X) @ V s'appelle une distribution à support fini sur X à
valeurs dans V. Lorsque K = IR, V = C, une telie distribution est également appelée
une distribution complexe à support fini sur X. Les définitions et résultats des nos
précédents s'étendent aussitôt, par linéarité, aux distributions à valeurs dans V.
13.7. Aflaiblissement & structure
On suppose K = R. Soit r' EN, tel que r' < r. Soit X une variété de classe Cr, et
soit X' la variété de classe Cr' obtenue par affaiblissement de structure (5.13.1). Soit
x E X, et soit t E TE)@), avec k < r'. Choisissons une carte c = (U, q, E) de X
centrée en x, et soit f l'élément de TSk)(E) tel que Oc(?) = t. Comme c est une carte
de X' centrée en x, l'élément t ' = O&) de TF'@') est défini ; il ne dépend pas du choix
de c. L'application t H t' est une bijection de T : ) @ )
sur T?' (X' ) par laquelle on
identifie ces deux espaces. Les identifications ainsi obtenues sont compatibles avec les
opérations (5 t), y,(t), t, @ t,, c(t), . . . des nos précédents.
DiSTRIBUTIONS PONCTUELLES
71
Si q: X - t Y est un morphisme de variétés de classe Cr, les applications
Tc)(q) : F;)(X) -+ T$&,(Y) relatives aux divers points x de X définissent une application linéaire p, de Y(k)@) dans T(k)(Y), qui est un morphisme de cogèbres.
Si X, et X, sont deux variétés de classe Cr, les applications c r i ' (cf. 13.4.5) définissent une application linéaire
qui est injective; c'est un morphisme de cogèbres. Si k = CO ou w, c'est un isomorphisme de cogèbres.
13.6.2. Soit X une variété de classe Cr, et soit V un K-espace vectoriel de dimension
finie. Un élément de Y(')(X) @ V s'appelle une distribution à support fini sur X à
valeurs dans V. Lorsque K = IR, V = C, une telie distribution est également appelée
une distribution complexe à support fini sur X. Les définitions et résultats des nos
précédents s'étendent aussitôt, par linéarité, aux distributions à valeurs dans V.
13.7. Aflaiblissement & structure
On suppose K = R. Soit r' EN, tel que r' < r. Soit X une variété de classe Cr, et
soit X' la variété de classe Cr' obtenue par affaiblissement de structure (5.13.1). Soit
x E X, et soit t E TE)@), avec k < r'. Choisissons une carte c = (U, q, E) de X
centrée en x, et soit f l'élément de TSk)(E) tel que Oc(?) = t. Comme c est une carte
de X' centrée en x, l'élément t ' = O&) de TF'@') est défini ; il ne dépend pas du choix
de c. L'application t H t' est une bijection de T : ) @ )
sur T?' (X' ) par laquelle on
identifie ces deux espaces. Les identifications ainsi obtenues sont compatibles avec les
opérations (5 t), y,(t), t, @ t,, c(t), . . . des nos précédents.