TF)@) @ TF)@), cf. 13.4.5. On obtient ainsi une application linéaire, notée encore
A, (ou c) :
T: '
(X) - + e'@) @ TF'@) ;
on l'appelle le coproduit attaché à TF'@). Muni de ce coproduit, TE'@) est une
cogèbre coassociative et cocommutative (A, III, p. 144-145); elle admet pour coünité
la forme linéaire qui associe à une distribution ponctuelle son terme constant (13.2.1).
Si k' < k, l'inclusion de
dans TF'@) est un morphisme de cogèbres.
Si c = (U, p, E) est une carte de X centrée en x, l'isomorphisme
8, : TCk'(E) -+ TF'@)
est un isomorphisme de cogèbres, T(k'(E) étant muni du coproduit induit par celui
de TS(E), cf. A, IV, 5 5, no 7.
Si p: X + Y est un morphisme de variétés de classe Cr, l'application de c'fi)
dans T$$(Y) induite par p, est un morphisme de cogèbres.
13.5.2. Soient F,, F2 et F des espaces polynormés séparés, et (u,, u2) H u, .u2 une
application bilinéaire continue de FI x F, dans F. Soit t ET$'(X) et soit
c(t) = 2 u, @ uj (5, vj dans T$'(X)) son image par le coproduit. Soient 5 : X -+ Fi
i
(i = 1,2) des applications de classe Cr. On a
ce que l'on écrit, par abus de notation:
(fi .fi, t> = .
13.5.3. Soit t E TF'(X), où k < r.
a) Pour que c(t) = t ép t, il faut et il suffit que t soit égal à O ou à ex.
b) Pour que c(t) = t @ E, + a, ép t, il faut et il suffit que t soit un vecteur tangent,
i.e. que l'on ait t E Tg'+@).
13.6. Distributions à support fini
13.6.1. Soit X une variété de classe Cr, et soit k < r. On note F(k)OC) la somme
directe des espaces T$'(X), pour x E X. Un élément de
est appelé une distribution à supportfini sur X, d'ordre < k. Si f: X -t F est une fonction de classe Cr à
valeurs dans un espace polynormé séparé F, et si t = 2 tx, oh t, E T$'@) pour tout
X E X
x E X est une distribution à support, fini, on pose
De même, on pose c(t) = 2 c(t,), ce qui munit
d'une structure de cogèbre
X € X
coassociative, cocommutative, et possédant une coünité t H (1, t). Les inclusions
("')(X) -+ F(k)(X), où k' < k, sont des morphismes de cogèbres.