k = k, + k,. Pour i = 1,2, soit ci = @Ji, vi, E,) une carte de Xi centrée en xi et notons
fi l'élément de TS(Ei) tel que 8,(ti) = ti, cf. 13.2.1. Soit u l'isomorphisme canonique de
TS(El) @ TS(E2) sur TS(E, x E,), cf. A, IV, 5 5, no 5. L'élément a(& @ f2) est le
produit symétrique de Tl et t, (identifiés à des éléments de TS(El x E,) grâce aux
injections canoniques TS(Ei) -+ TS@, x E,)); il appartient à TYk)(E1 x E2). Posons
c = cl x c,; c'est une carte de X centrée en x. L'image par 8, de o(tl @ t2) est un
élément de TF)@), qui ne dépend pas du choix des cartes ci. On l'appelle le produit
direct, ou le produit tensoriel symétrique (ou même simplement le produit tensoriel)
de t, et t, et on le note t, x t2 ou t, @ t2.
On a ex1 @ cx, = ex. Le terme constant de t, Og t2 est le produit des termes constants de t, et de t,.
L'isomorphisme (y,, y,) H (y,, y,) de X, x X, sur X2 x X, transforme t, @ t2
en t2 @ t,.
13.4.2 (<( Associativité et fonctorialité D). Soient Xi (i = 1,2,3) des variétés de classe
Cr, et soient xi EX, ti E Tz)(Xi) avec k, + k2 + k3 < r. On a
(tl €3 t2) éb t3 = tl 63 (t2 €3 t3);
on note cette distribution ponctuelle t, @ t2 €3 t3. On définit de même des produits
tensoriels finis quelconques.
Soient y,: X1 -t Y1 et q2: X2 -t Y, des morphismes de variétés de classe Cr, et
soient t, E T(kl)(X1), t2 E T(k2)@2) avec k, + k, < r. On a
13.4.3. Les notations étant celles de 13.4.1, soient F,, F, et F des espaces polynormés
séparés, et (u,, 24, ) H u1 .u2 une application bilinéaire continue de F, x F, dans F.
Soit
fi: &-+Fi
( i = 1 , 2 )
une application de classe Cr, et définissons f, @ f2: X -t F par
Cr, @fi>(~l? YZ) = fl(Y1) -f2(~2)L'application f, @ f2 est de classe Cr, et l'on a
= (fi, tl> ..
13.4.4. Les notations étant celles de 13.4.1, soit f une application de classe Cr de X dans
un espace polynormé séparé F. Si y, E X,, notons f,, l'application y, H f(yl, y,) de
X2 dans F et posons g(yl) = (f,,, t,>. La fonction g : X1 + = F ainsi définie est de
classe Cr-ki, et i'on a
=
=> tl>On a de même
fi l'élément de TS(Ei) tel que 8,(ti) = ti, cf. 13.2.1. Soit u l'isomorphisme canonique de
TS(El) @ TS(E2) sur TS(E, x E,), cf. A, IV, 5 5, no 5. L'élément a(& @ f2) est le
produit symétrique de Tl et t, (identifiés à des éléments de TS(El x E,) grâce aux
injections canoniques TS(Ei) -+ TS@, x E,)); il appartient à TYk)(E1 x E2). Posons
c = cl x c,; c'est une carte de X centrée en x. L'image par 8, de o(tl @ t2) est un
élément de TF)@), qui ne dépend pas du choix des cartes ci. On l'appelle le produit
direct, ou le produit tensoriel symétrique (ou même simplement le produit tensoriel)
de t, et t, et on le note t, x t2 ou t, @ t2.
On a ex1 @ cx, = ex. Le terme constant de t, Og t2 est le produit des termes constants de t, et de t,.
L'isomorphisme (y,, y,) H (y,, y,) de X, x X, sur X2 x X, transforme t, @ t2
en t2 @ t,.
13.4.2 (<( Associativité et fonctorialité D). Soient Xi (i = 1,2,3) des variétés de classe
Cr, et soient xi EX, ti E Tz)(Xi) avec k, + k2 + k3 < r. On a
(tl €3 t2) éb t3 = tl 63 (t2 €3 t3);
on note cette distribution ponctuelle t, @ t2 €3 t3. On définit de même des produits
tensoriels finis quelconques.
Soient y,: X1 -t Y1 et q2: X2 -t Y, des morphismes de variétés de classe Cr, et
soient t, E T(kl)(X1), t2 E T(k2)@2) avec k, + k, < r. On a
13.4.3. Les notations étant celles de 13.4.1, soient F,, F, et F des espaces polynormés
séparés, et (u,, 24, ) H u1 .u2 une application bilinéaire continue de F, x F, dans F.
Soit
fi: &-+Fi
( i = 1 , 2 )
une application de classe Cr, et définissons f, @ f2: X -t F par
Cr, @fi>(~l? YZ) = fl(Y1) -f2(~2)L'application f, @ f2 est de classe Cr, et l'on a
13.4.4. Les notations étant celles de 13.4.1, soit f une application de classe Cr de X dans
un espace polynormé séparé F. Si y, E X,, notons f,, l'application y, H f(yl, y,) de
X2 dans F et posons g(yl) = (f,,, t,>. La fonction g : X1 + = F ainsi définie est de
classe Cr-ki, et i'on a
=