13.3.4. Supposons que K soit de caractéristique zéro ou que X soit localement de
dimension finie. Soit k un entier tel que O < k < r et soit x E X; soit F un espace de
Banach. D'après 12.6.8, on a une suite exacte
(0
O -t Pk(Tx(X); F) It PX(F4 2 P$-l(FX) -t O,
avec a = I.k. k-l, D'autre part, d'après 13.3.1, on a une suite exacte
où s est l'inclusion de TF-1'@) dans TF'@) et i = ik. Ces suites exactes sont
~r accouplées dans F o. Plus précisément, écrivons-les sous la forme:
(ii)
O+-A'CB~ & C ~ + O .
Si a E A et a' E A' , l'élément de F est défini par 13.1.2; si b E B et b' E Br,
(resp. si c E C et c' E CI), l'élément (resp. alors :
< ~ a ,
Y) = et = si a E A, b E B, b' E B' , cf E CI.
13.3.5. Soit Y une variété de classe Cr, soit cp: X -+ Y un morphisme de classe Cr et
soient x E X, y E Y tels que y = ~ ( x ) . L'application cp, : T$'(x) -t TF'(Y) définie en
13.2.3 est compatible avec les iiltrations de ces espaces; elle définit par passage aux
gradués associés une application linéaire
grtv*) : gr TX' (X) -t gr TY 0.
Notons d'autre part TSr)(T&)) l'application de TSr)(TX(X)) dans TS("(T,(Y)) induite
par le prolongement canonique TS(T,(q)) de Tx(cp). Le diagramme
est commutatif.
13.3.6. Supposons que K soit de caractéristique zéro. En utilisant les isomorphismes
q,: Sk(M) + TSk(M) d é f i s en A, IV, § 5, no 8, on peut remplacer, dans tout ce
qui précède, les TSk(Tx(X)) par les puissances symétriques k-ièmes Sk(Tx(X)) de
l'espace tangent T,@).
13.4. Produit tensoriel de distributions ponctuelles
13.4.1. Soient X, et X, deux variétés de classe Cr, soient x,
x2 EX^ et
tl E c;)(X1)5 tz E TX3X2) avec k, + k, < r. Posons X = X1 x X,, x = (x,, x2) et