13.3. Distributions ponctuelles et espaces tangents
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr.
13.3.1. Soit x E X et soit k un entier Gr. Soit c = (U, y, E) une carte de X centrée
en x; 1' isomorphisme 8,: TS")(E) -+ Tz'(X) défini en 13.2.1 applique TSTk)(E) sur TL)@)
et TS(k-l)(E) sur T?-"(X); par restriction et passage au quotient, il induit un isomorphisme
O,, ,: TSk(E) = TS'k'(~)/TS'k- "(E) -t TF'(X)/Tg - "m.
D'autre part, c définit un isomorphisme, déjà noté O,, de E sur l'espace tangent
T,(X), cf. 5.5.1. Notons 4 le composé
L'isomorphisme ik est indépendant du choix de c; pour k = 1, on l'utilise pour identifier T ~ ) + ( x )
= T$(x)/?~'@) à l'espace tangent T,(X). Si t E TF' @), on se permet
de noter i,(t) l'image par ik de la classe de t modulo p2-1'@).
Posons
grk F: )O = P:)(X>/T' ~-~' (X)
et gr F~)o = O G k < r
O gr, T("(x).
On dit que gr T$'(X) est le gradué associé à la filtration croissante (T~'@)),,, de
T~'(X). Les ik définissent un isomorphisme d'espaces vectoriels gradués
i: gr Tz'(X) -t TS' "(' T,(X)).
Si r = co ou w, i est un isomorphisme de gr TF@) sur TS(T,(X)). Lorsque l'on désire
préciser x (ou X, ou les deux), on écrit i, (ou i,, ou ix* ,
) à la place de i.
13.3.2. Outre les hypothèses ci-dessus, supposons que X soit localement de dimension
finie. Les isomorphismes ik relatifs aux différents points de X définissent un isomorphisme de fibrés vectoriels
oh TSk(T(X)) désigne le fibré vectoriel de classe Cr-* déduit de T(X) par le foncteur
vectoriel en dimension finie TSk (cf. 7.6.5). Pour k 2 1, ik est un isomorphisme de
classe Cr-k; pour k = O, c'est i'application identique du fibré trivial K,.
13.3.3. Exemple. -Les hypothèses étant comme ci-dessus, soit f = (P, . . ., ,$") un
système de coordonnées de X en x. Notons (a,, , ) , , , , , , la base de T,(X) définie par
.
$ (cf. 5.5.8) et notons ((A'&) ,
,
!
.,, celle de e'@) définie en 13.2.6. On a:
l Ici encore, le produit des Y,,(&, 3 est un produit symétrique dans TS(T,(X)).
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr.
13.3.1. Soit x E X et soit k un entier Gr. Soit c = (U, y, E) une carte de X centrée
en x; 1' isomorphisme 8,: TS")(E) -+ Tz'(X) défini en 13.2.1 applique TSTk)(E) sur TL)@)
et TS(k-l)(E) sur T?-"(X); par restriction et passage au quotient, il induit un isomorphisme
O,, ,: TSk(E) = TS'k'(~)/TS'k- "(E) -t TF'(X)/Tg - "m.
D'autre part, c définit un isomorphisme, déjà noté O,, de E sur l'espace tangent
T,(X), cf. 5.5.1. Notons 4 le composé
L'isomorphisme ik est indépendant du choix de c; pour k = 1, on l'utilise pour identifier T ~ ) + ( x )
= T$(x)/?~'@) à l'espace tangent T,(X). Si t E TF' @), on se permet
de noter i,(t) l'image par ik de la classe de t modulo p2-1'@).
Posons
grk F: )O = P:)(X>/T' ~-~' (X)
et gr F~)o = O G k < r
O gr, T("(x).
On dit que gr T$'(X) est le gradué associé à la filtration croissante (T~'@)),,, de
T~'(X). Les ik définissent un isomorphisme d'espaces vectoriels gradués
i: gr Tz'(X) -t TS' "(' T,(X)).
Si r = co ou w, i est un isomorphisme de gr TF@) sur TS(T,(X)). Lorsque l'on désire
préciser x (ou X, ou les deux), on écrit i, (ou i,, ou ix* ,
) à la place de i.
13.3.2. Outre les hypothèses ci-dessus, supposons que X soit localement de dimension
finie. Les isomorphismes ik relatifs aux différents points de X définissent un isomorphisme de fibrés vectoriels
oh TSk(T(X)) désigne le fibré vectoriel de classe Cr-* déduit de T(X) par le foncteur
vectoriel en dimension finie TSk (cf. 7.6.5). Pour k 2 1, ik est un isomorphisme de
classe Cr-k; pour k = O, c'est i'application identique du fibré trivial K,.
13.3.3. Exemple. -Les hypothèses étant comme ci-dessus, soit f = (P, . . ., ,$") un
système de coordonnées de X en x. Notons (a,, , ) , , , , , , la base de T,(X) définie par
.
$ (cf. 5.5.8) et notons ((A'&) ,
,
!
.,, celle de e'@) définie en 13.2.6. On a:
l Ici encore, le produit des Y,,(&, 3 est un produit symétrique dans TS(T,(X)).