no 2
DISTRIBUTIONS PONCTUELLES
65
en x. On identife alors T$'(X) à TS"' (I3) au moyen de 0;' ; en particulier, on a
T:)(x)
= TS(E).
Soit F un espace de Banach, soit u: E -t F une application linéaire continue, et
soient x E E, y E F tels que u(x) = y. Identifions comme ci-dessus TF'(E) à TS(E) et
Tkm'(F) à TS(F). L'application
u, : TS(E) + T S O
(cf. 13.2.3)
coïncide avec l'application TS(u) induite par le prolongement canonique de u à
l'algèbre tensorielle.
13.2.5. Si k < r, on note T'~'(X) (resp. T'"+(X)) l'ensemble somme des T~'(X) (resp.
des T:' +(X)) pour a E X. Une application t: X + Sk'(X) telle que t(a) E Tf'(X) pour
tout a E X s'appelle un champ de distributions ponctuelles d'ordre < k.
Supposons kfini et X localement de dimensionfinie. Pour tout a G X, la forme bilinéaire (j, t) ++
dual du fibré vectoriel Pk(X); par transport de structure au moyen de i -l, on munit
TCk'(X) d'une structure de$bré vectoriel de base X et de classe Cr-k. Un champ de distributions ponctuelles d'ordre < k est dit de classe C: avec s < r - k, si c'est une
section de classe Cs du fibré Tk)(X).
Soit p: X - t Y un morphisme de variétés de classe Cr et supposons que Y soit,
comme X, localement de dimension finie. Alors p,: T(k)(X) -+
est un pmorphisme de fibrés vectoriels de classe Cr-k.
13.2.6. Soit k un entier tel que O < k < r. Si U est un ouvert d'un espace de Banach E
de dimension finie, le fibré vectoriel Tk)(U) s'identifie, grâce à 13.2.4, aufibré trivial
de fibre TSk)(E).
Prenons en particulier E = Kn, avec n O, et soit (e,, . . . , en) la base canonique
de E. Si a = (a,, . . . , a,) est un élément de Nn, notons A" l'élément ya,(el). . . y,,(en) de
TSF) (le produit utilisé étant le produit symétrique des tenseurs symétriques, cf. A,
IV, 8 5, no 3).' l' Les A", pour la1 < k, forment une base de TSk)(E); si a E Kn, on note
A: les éléments correspondants de T:' (E).
Soient F un espace polynormé séparé, et f
une fonction de classe Cr, à valeurs dans F, définie au voisinage de a; si a E Nn,
l'élément
de coordonnées de X dans un ouvert U. Si a E U et si a est un multi-indice tel que
la1 < k, on note (Aa, la distribution ponctuelle en a dont l'image par f est la distribution ponctuelle A: , , , sur Kn; les champs de distributions
A: : a * (Qa
(la1 < k)
forment un repère sur U du fibré vectoriel T'")m. Si fi U -+ F est de classe Cr, on
pose = A:f(a) et l'on note A : f la fonction a H A :
f (a); c'est une fonction de
classe Cr-k dans U.
'Si m = la] et si 2 est l'ensemble des applications o de {l, . . ., m} dans (1,. . . , n} telles que
Card o-*(i) = a,, on a
A" = Y&J. . .Y&,) = 2 e , ~
@a
- .@ e,~,), cf. A, IV, 6 5, no 4.
a a
5-B.
DISTRIBUTIONS PONCTUELLES
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en x. On identife alors T$'(X) à TS"' (I3) au moyen de 0;' ; en particulier, on a
T:)(x)
= TS(E).
Soit F un espace de Banach, soit u: E -t F une application linéaire continue, et
soient x E E, y E F tels que u(x) = y. Identifions comme ci-dessus TF'(E) à TS(E) et
Tkm'(F) à TS(F). L'application
u, : TS(E) + T S O
(cf. 13.2.3)
coïncide avec l'application TS(u) induite par le prolongement canonique de u à
l'algèbre tensorielle.
13.2.5. Si k < r, on note T'~'(X) (resp. T'"+(X)) l'ensemble somme des T~'(X) (resp.
des T:' +(X)) pour a E X. Une application t: X + Sk'(X) telle que t(a) E Tf'(X) pour
tout a E X s'appelle un champ de distributions ponctuelles d'ordre < k.
Supposons kfini et X localement de dimensionfinie. Pour tout a G X, la forme bilinéaire (j, t) ++
dual du fibré vectoriel Pk(X); par transport de structure au moyen de i -l, on munit
TCk'(X) d'une structure de$bré vectoriel de base X et de classe Cr-k. Un champ de distributions ponctuelles d'ordre < k est dit de classe C: avec s < r - k, si c'est une
section de classe Cs du fibré Tk)(X).
Soit p: X - t Y un morphisme de variétés de classe Cr et supposons que Y soit,
comme X, localement de dimension finie. Alors p,: T(k)(X) -+
est un pmorphisme de fibrés vectoriels de classe Cr-k.
13.2.6. Soit k un entier tel que O < k < r. Si U est un ouvert d'un espace de Banach E
de dimension finie, le fibré vectoriel Tk)(U) s'identifie, grâce à 13.2.4, aufibré trivial
de fibre TSk)(E).
Prenons en particulier E = Kn, avec n O, et soit (e,, . . . , en) la base canonique
de E. Si a = (a,, . . . , a,) est un élément de Nn, notons A" l'élément ya,(el). . . y,,(en) de
TSF) (le produit utilisé étant le produit symétrique des tenseurs symétriques, cf. A,
IV, 8 5, no 3).' l' Les A", pour la1 < k, forment une base de TSk)(E); si a E Kn, on note
A: les éléments correspondants de T:' (E).
Soient F un espace polynormé séparé, et f
une fonction de classe Cr, à valeurs dans F, définie au voisinage de a; si a E Nn,
l'élément
de coordonnées de X dans un ouvert U. Si a E U et si a est un multi-indice tel que
la1 < k, on note (Aa, la distribution ponctuelle en a dont l'image par f est la distribution ponctuelle A: , , , sur Kn; les champs de distributions
A: : a * (Qa
(la1 < k)
forment un repère sur U du fibré vectoriel T'")m. Si fi U -+ F est de classe Cr, on
pose
f (a); c'est une fonction de
classe Cr-k dans U.
'Si m = la] et si 2 est l'ensemble des applications o de {l, . . ., m} dans (1,. . . , n} telles que
Card o-*(i) = a,, on a
A" = Y&J. . .Y&,) = 2 e , ~
@a
- .@ e,~,), cf. A, IV, 6 5, no 4.
a a
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