Considérons une carte c = (U, y, E) de X centrée en x, et posons& = f O p-l et
t, = 0c1(t); l'élément (f,, t,> de F défini en 13.1.3 ne dépend pas du choix de c; on le
note
= u(U7 t>)Supposons que F soit un espace de Banach, et que t soit d'ordre < k, avec k fini.
Soit j E JE@, F), cf. 12.1.2, et soit f E j. Alors (f, t > ne dépend que du jet j; on le
note
bilinéaire sur T$'(X) x PE(X).
13.2.3. Soit p: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr et soit y = p(x). Soit
c = (U, #, E) une carte de X centrée en x et soit c' = (U' , #' , E') une carte de Y
centrée en y; soit e, l'expression de p dans ces cartes (5.3.2), et soit 9, l'application
correspondante de TSr)(E) dans TSr)(E'), cf. 13.1.4. Il existe une application linéaire
et une seule, notée
ou y,, de Tg'(X) dans c'(Y), rendant commutatif le diagramme
s
T S ~ E )
---t T S ~ E )
I
I
Cette application ne dépend pas du choix de c et c'. Si t E T~'(X), on dit que y,(t) est
l'image de t par y. On a F,(~,) = e , . Si k < r, on a
Si y' : X -t Y est un morphisme de classe C appliquant x sur y, on a p, = y& si et
seulement si jX(p) = j;(pl), cf. 12.1.
Si y est une immersion (resp. une submersion) en x, y, est injectif (resp. surjectif);
la réciproque est vraie si dim, Y c + co.
Si p': Y +- Z est un morphisme de variétés de classe Cr, et si t E T$'(X), on a
(P' O vi)*(t) = vX(9)*(t)).
Soit F un espace polynormé séparé, et soit f une fonction de classe Cr à valeurs dans
F, définie dans un voisinage de y. On a alors
(1)
pour tout t E T~'(X).
Pour t donné, les relations (1) (pour f et F variables) caractérisent y,(t); lorsque
dim, Y c +co, on peut se borner à F = K.
13.2.4. Supposons que X soit une sous-variété ouverte d'un espace de Banach E.
Notons p, l'application y n y - x de X dans E; la carte c = (X, y,, E) est centrée
Lorsque K = R ou C et que X est localement compacte, la formule précédente conduit à identifier la distribution ponctuelle E, à la mesure de Dirac E, définie en JNT, III, $ 1, no 3. Plus généralement, toute mesure ti support fini dans X s'identifie à une distribution à support fini au sens du
no 13.6.
t, = 0c1(t); l'élément (f,, t,> de F défini en 13.1.3 ne dépend pas du choix de c; on le
note
= u(U7 t>)Supposons que F soit un espace de Banach, et que t soit d'ordre < k, avec k fini.
Soit j E JE@, F), cf. 12.1.2, et soit f E j. Alors (f, t > ne dépend que du jet j; on le
note
bilinéaire sur T$'(X) x PE(X).
13.2.3. Soit p: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr et soit y = p(x). Soit
c = (U, #, E) une carte de X centrée en x et soit c' = (U' , #' , E') une carte de Y
centrée en y; soit e, l'expression de p dans ces cartes (5.3.2), et soit 9, l'application
correspondante de TSr)(E) dans TSr)(E'), cf. 13.1.4. Il existe une application linéaire
et une seule, notée
ou y,, de Tg'(X) dans c'(Y), rendant commutatif le diagramme
s
T S ~ E )
---t T S ~ E )
I
I
Cette application ne dépend pas du choix de c et c'. Si t E T~'(X), on dit que y,(t) est
l'image de t par y. On a F,(~,) = e , . Si k < r, on a
Si y' : X -t Y est un morphisme de classe C appliquant x sur y, on a p, = y& si et
seulement si jX(p) = j;(pl), cf. 12.1.
Si y est une immersion (resp. une submersion) en x, y, est injectif (resp. surjectif);
la réciproque est vraie si dim, Y c + co.
Si p': Y +- Z est un morphisme de variétés de classe Cr, et si t E T$'(X), on a
(P' O vi)*(t) = vX(9)*(t)).
Soit F un espace polynormé séparé, et soit f une fonction de classe Cr à valeurs dans
F, définie dans un voisinage de y. On a alors
(1)
Pour t donné, les relations (1) (pour f et F variables) caractérisent y,(t); lorsque
dim, Y c +co, on peut se borner à F = K.
13.2.4. Supposons que X soit une sous-variété ouverte d'un espace de Banach E.
Notons p, l'application y n y - x de X dans E; la carte c = (X, y,, E) est centrée
Lorsque K = R ou C et que X est localement compacte, la formule précédente conduit à identifier la distribution ponctuelle E, à la mesure de Dirac E, définie en JNT, III, $ 1, no 3. Plus généralement, toute mesure ti support fini dans X s'identifie à une distribution à support fini au sens du
no 13.6.