no 2
DISTRIBUTIONS PONCTUELLES
63
oùf, est un polynôme-continu homogène de degré i (O < i < k) et où h a un contact
d'ordre 2 k avec O au point O. On pose alors
P
c'est un élément de F qui ne dépend pas du choix de k.
13.1.4. Soient E et E' deux espaces de Banach, U un voisinage ouvert de O dans E et
rp: U + E' une application de classe Cr telle que rp(0) = O. Soit t E TSCr' (E). Il existe un
élément t ' E TSr)(E') et un seul tel que, quels que soient l'espace polynormé séparé F,
le voisinage ouvert U' de O dans E' , et l'application$ U' -+ F de classe Cr, on ait
(*)
(f, t'> = (f O P, t>.
Cet élément t' se note rp,(t). L'application
rp* : TSr)(E) -+ TSr)(E')
ainsi définie est linéaire.
13.2. Distributions ponctuelles
Dans ce numéro, X désigne une variété de classe Cr, et x un point de X.
13.2.1. Soit &'l'ensemble des couples (c, t), où c = (U, rp, E) est une carte de X centrée
en x, et où t E TS(')(E). Deux éléments ((U, rp, E), t) et ((U', rp' , E'), t ') de d sont dits
équivalents si t' = y,(t), où y = rp' 0 rp-l. On obtient ainsi une relation d'équivalence
sur &'; une classe d'équivalence pour cette relation est appelée une distribution
ponctuelle en x sur X.
Soit T'i)(X) Sensemble des distributions ponctuelles en x sur X. Si c est une carte
de X centrée en x, l'application
0, : TSC"(E) -t T'!(X)
qui, à t, fait correspondre la classe de (c, t), est une bijection. Dans tout ce qui suit, on
munit T$' O de la structure de K-espace vectoriel obtenue en transportant celle de
TSr)(E) par 0,; cette structure ne dépend pas du choix de c. De même, si k < r, on
note TF)@) et TF'+@) les images de TS' "' (E) et TS'"'+(E) par O,; elles ne dépendent
pas du choix de c. Un élément de T:)(x) est dit d'ordre < k s'il appartient à TF'(X).
On a
TF'@) = T$"(X) @ TF'+@).
Il existe un élément et un seul E
, de T~'(X) tel que Son ait 0,(1) = E
, pour toute carte
c de X centrée en x. Si t est une distribution ponctuelle en x, on appelle terme constant
de t l'élément X de K tel que t - As, E T: '
+ 0 ; on dit que t est sans terme constant si
son terme constant est nul.
13.2.2. Soit F un espace polynormé séparé, et soit f une fonction de classe Cr à valeurs
dans F, définie sur un voisinage de x. Soit t une distribution ponctuelle en x sur X.
DISTRIBUTIONS PONCTUELLES
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oùf, est un polynôme-continu homogène de degré i (O < i < k) et où h a un contact
d'ordre 2 k avec O au point O. On pose alors
P
c'est un élément de F qui ne dépend pas du choix de k.
13.1.4. Soient E et E' deux espaces de Banach, U un voisinage ouvert de O dans E et
rp: U + E' une application de classe Cr telle que rp(0) = O. Soit t E TSCr' (E). Il existe un
élément t ' E TSr)(E') et un seul tel que, quels que soient l'espace polynormé séparé F,
le voisinage ouvert U' de O dans E' , et l'application$ U' -+ F de classe Cr, on ait
(*)
(f, t'> = (f O P, t>.
Cet élément t' se note rp,(t). L'application
rp* : TSr)(E) -+ TSr)(E')
ainsi définie est linéaire.
13.2. Distributions ponctuelles
Dans ce numéro, X désigne une variété de classe Cr, et x un point de X.
13.2.1. Soit &'l'ensemble des couples (c, t), où c = (U, rp, E) est une carte de X centrée
en x, et où t E TS(')(E). Deux éléments ((U, rp, E), t) et ((U', rp' , E'), t ') de d sont dits
équivalents si t' = y,(t), où y = rp' 0 rp-l. On obtient ainsi une relation d'équivalence
sur &'; une classe d'équivalence pour cette relation est appelée une distribution
ponctuelle en x sur X.
Soit T'i)(X) Sensemble des distributions ponctuelles en x sur X. Si c est une carte
de X centrée en x, l'application
0, : TSC"(E) -t T'!(X)
qui, à t, fait correspondre la classe de (c, t), est une bijection. Dans tout ce qui suit, on
munit T$' O de la structure de K-espace vectoriel obtenue en transportant celle de
TSr)(E) par 0,; cette structure ne dépend pas du choix de c. De même, si k < r, on
note TF)@) et TF'+@) les images de TS' "' (E) et TS'"'+(E) par O,; elles ne dépendent
pas du choix de c. Un élément de T:)(x) est dit d'ordre < k s'il appartient à TF'(X).
On a
TF'@) = T$"(X) @ TF'+@).
Il existe un élément et un seul E
, de T~'(X) tel que Son ait 0,(1) = E
, pour toute carte
c de X centrée en x. Si t est une distribution ponctuelle en x, on appelle terme constant
de t l'élément X de K tel que t - As, E T: '
+ 0 ; on dit que t est sans terme constant si
son terme constant est nul.
13.2.2. Soit F un espace polynormé séparé, et soit f une fonction de classe Cr à valeurs
dans F, définie sur un voisinage de x. Soit t une distribution ponctuelle en x sur X.