8 13. Distributions ponctuelles
13.1. Tenseurs symétriques et espaces de Banach
13.1.1. Soit E un module sur un anneau commutatif A. Si n est un entier 2 O, on note
TSn(E) le module des tenseurs symétriques de degré n de E (A, III, p. 71 et A, IV,
!j 5, no 2); la somme directe des TSn(E) est notée TS(E). Si r est, soit un entier, soit l'un
des symboles oo, a, on pose
TSCr)(E) = O TSn(E)
n b r
et TS"'+ (E) = l b n b ~
@ TSn(E) ;
par suite, si r 2 O, TS(')(E) est somme directe de TSC0)(E) = A et de TSr)+(E). On a
TSC1)+(E) = E et TSCm)(E) = TS(O)(E) = TS(E).
Si n est un entier 20, et si x E E, on note yn(x) l'élément x @. . @I x de
TSn(E); pour n = O, y0(x) = 1.
13.1.2 (4 Applications polynomiales O). On suppose que A est intègre infini et que E
est un A-module libre. Soit F un A-module. Une application f: E -+ F est dite polynomiale homogène de degré n si elle satisfait aux conditions équivalentes suivantes
(cf. A, IV, Cj 5, no 9):
a) Il existe une application linéaire f TSn(E) -+ F telle que f (x) = f(yn(x)) pour
tout x E E.
b) Il existe une application multilinéaire u: En -t F teiie que f(x) = u(x, . . . , x)
pour tout x E E.
Supposons que ce soit le cas. L'application f vérifiant a) est alors unique; si
t E TSn(E), on note correspondante de @InE dans F coïncide avec f dans le sous-module TSn(E). Lorsque
n ! est inversible dans A, on peut choisir u symétrique, et cela de façon unique.
13.1.3. Soient E un espace de Banach sur K et F un espace polynormé séparé sur K.
Soient U un voisinage ouvert de O dans E,f: U + F une application de classe
Cr (r E NE), et t un élément de TSCr)(E), cf. 13.1.1 (appliqué à l'anneau A = K). Soit k
un entier < r tel que t E TSCk)(E). On peut décomposer t et f de façon unique en
t = to + - a - + t,, avec ti E TSi(E)
f =fo +'.'+ fk + h,