no 6
JETS
pour tout ouvert U de X et toute suite de sections si E G ( U ) pour 1 Q i < d.
Si A est un fibré en algèbres (7.3.2) de base X, le morphisme de Pk(A) x x Pk(A)
dans Pk(A) déduit de la multiplication A x x A -+ A fait de Pk(A) un fibré en algèbres;
si A est un fibré en algèbres associatives, Pk(A) est un fibré en algèbres associatives; si
en outre M est un fibré en A-modules (7.3.3), Pk(M) est un fibré en Pk(A)-modules. En
particulier, Pk(X) est un jibré en algèbres associatives, commutatives et unifères; si E est un fibré vectoriel, Pk(E) est unjibré en Pk(X)-modules. Si u: E + F est un
morphisme de fibrés vectoriels, alors Pk(u): Pk(E) -t Pk(F) est un Pk(X)-homomorphisme.
12.6.4. Si E % F % G est une suite exacte localement directe de fibrés vectoriels de
base X, il en est de même de la suite
où les homomorphismes considérés sont Pk(u) et Pk(v).
12.6.5. Soient k' et k" deux entiers positifs de somme k, et soit E un fibré vectoriel de
classe C et de base X. Le morphisme
a: Jk(X, E) -t Jk"(X, Jk'(X, E))
(cf. 12.3.8)
induit un morphisme de fibrés vectoriels
qui est de classe C-k. Si U est un ouvert de X et f E io,'(U), on a
Lorsque K est de caractéristique zéro, /3 est un isomorphisme de Pk(E) sur un sousfibré vectoriel de Pk"(Pk'(E)).
12.6.6. Soit k' un entier tel que O < k' < k, et soit E un fibré vectoriel de classe Cr et
de base X. L'application
I.k. Ic' : Pk(E) -t Pk'(E)
est un morphisme surjectif localement direct de classe Cr-k. Son noyau Nk* %'(E) est
formé des jets de section de E ayant un contact d'ordre 2 k' avec la section nulle.
12.6.7 (<< Le foncteur vectoriel Pm n
)
. Les notations étant celles de 7.6,7.7, 7.8, posons
1, = {O), 1- = (1) et soit m un entier 20. Si Y = Or,, VI) est un couple d'espaces de
Banach, notons r m ( q l'espace de Banach Pm(V1; Vo) des polynômes-continus homogènes de degré m sur V, à valeurs dans Vo (A.2). De même, si f = Cf,, f,). où
f, : V, + Vo et fl : V; -t V, sont des morphismes d'espaces de Banach, notons T , ( f) le
morphismep H fo 0 p 0 fi de Pm(V, ; Vo) dans P m w ; Vo). On obtient ainsi un foncteur
JETS
pour tout ouvert U de X et toute suite de sections si E G ( U ) pour 1 Q i < d.
Si A est un fibré en algèbres (7.3.2) de base X, le morphisme de Pk(A) x x Pk(A)
dans Pk(A) déduit de la multiplication A x x A -+ A fait de Pk(A) un fibré en algèbres;
si A est un fibré en algèbres associatives, Pk(A) est un fibré en algèbres associatives; si
en outre M est un fibré en A-modules (7.3.3), Pk(M) est un fibré en Pk(A)-modules. En
particulier, Pk(X) est un jibré en algèbres associatives, commutatives et unifères; si E est un fibré vectoriel, Pk(E) est unjibré en Pk(X)-modules. Si u: E + F est un
morphisme de fibrés vectoriels, alors Pk(u): Pk(E) -t Pk(F) est un Pk(X)-homomorphisme.
12.6.4. Si E % F % G est une suite exacte localement directe de fibrés vectoriels de
base X, il en est de même de la suite
où les homomorphismes considérés sont Pk(u) et Pk(v).
12.6.5. Soient k' et k" deux entiers positifs de somme k, et soit E un fibré vectoriel de
classe C et de base X. Le morphisme
a: Jk(X, E) -t Jk"(X, Jk'(X, E))
(cf. 12.3.8)
induit un morphisme de fibrés vectoriels
qui est de classe C-k. Si U est un ouvert de X et f E io,'(U), on a
Lorsque K est de caractéristique zéro, /3 est un isomorphisme de Pk(E) sur un sousfibré vectoriel de Pk"(Pk'(E)).
12.6.6. Soit k' un entier tel que O < k' < k, et soit E un fibré vectoriel de classe Cr et
de base X. L'application
I.k. Ic' : Pk(E) -t Pk'(E)
est un morphisme surjectif localement direct de classe Cr-k. Son noyau Nk* %'(E) est
formé des jets de section de E ayant un contact d'ordre 2 k' avec la section nulle.
12.6.7 (<< Le foncteur vectoriel Pm n
)
. Les notations étant celles de 7.6,7.7, 7.8, posons
1, = {O), 1- = (1) et soit m un entier 20. Si Y = Or,, VI) est un couple d'espaces de
Banach, notons r m ( q l'espace de Banach Pm(V1; Vo) des polynômes-continus homogènes de degré m sur V, à valeurs dans Vo (A.2). De même, si f = Cf,, f,). où
f, : V, + Vo et fl : V; -t V, sont des morphismes d'espaces de Banach, notons T , ( f) le
morphismep H fo 0 p 0 fi de Pm(V, ; Vo) dans P m w ; Vo). On obtient ainsi un foncteur