12.5.2. Soit Z une variété de classe Cr; supposons que Y = X x Z et soit
P = prl : Y + X. La restriction de Jk(Idx, pr,) (cf. 12.3.9) à Pk(n) est un isomorphisme
de Pk(?r) sur Jk(X, Z), par lequel on identifie ces deux variétés.
12.5.3. Soit Y' une variété de classe Cr, soient m : Y + X et TT': Y' +- X des submersions et soit g: Y -t Y' un morphisme tel que P' 0 g = 71. L'application Jk(Idx, g)
a pour restriction une application
Pk(g) : Pk(P) + Pk(7r')
qui est de classe
Soit X' une variété de classe Cr, et soit f: X' + X un morphisme; posons
(Y', d) = f *(Y, P), cf. 5.1 1 S. L'application Jkdf, Idy) (cf. 12.3.9) définit une application de classe Cr-" de f *Pk(m) dans Pk(?r').
12.6. Jets & sections d'unjibré vectoriel
12.6.1. Soit E un fibré vectoriel de classe Cr de base X, et soit P sa projection. Soient
co = (U, pî, F,) une carte vectorielle de E et cl = (U, +, FI) une carte de la variété
X, de même domaine U. Ces cartes définissent une bijection 8 de Pk(n)lU sur
Jk(+Cv>, F,) = +(U) x F, x Qk(Fl, F,), cf. 12.2.2 et 12.3.1, d'oh une carte vectorielle
k
d = (U, 8, G), avec G = F, x Qk(F,, F,) = n Pm(Fl; F,)
m = O
de Pk(?r). Les cartes ainsi obtenues forment un Cr-k-atlas vectoriel, qui munit Pk(r)
d'une structure de fibré vectoriel de classe Cr-", de base X. Ce fibré vectoriel est noté
Pk(E); la structure de variété sous-jacente est celle définie en 12.5.1.
Soit U un ouvert de X, et soit f E g ( U ) une section de classe Cr de E au-dessus de
U. L'application j k( f )
: x H jim est une section de classe Cr-" de Pk(E) au-dessus de
U. L'application jk : g ( U ) 4 Y&;~(u) est K-linéaire.
12.6.2. Si F est un espace de Banach, l'identification (12.5.2) de Pk(Fx) avec Jk(X, F)
munit cette dernière variété d'une structure de fibré vectoriel de classe Cr-k, de base
X. Lorsque F = K, on écrit Pk(X) au lieu de Pk(Kx).
Exemple. - Prenons X = Kn, et notons ul, . . . , un les fonctions coordonnées sur
K"; alors la fibre Pt@) de P k(X) en O admet pour base la famille des jets d'ordre k
12.6.3. Soient d un entier 2 O, El, . . . , E,, F des fibrés vectoriels de classe Cr de base
X, et soit u: El xx- - - x, Ed -+ F un morphisme multilinéaire (7.3.l).de classe Cr. Il
existe alors un morphisme multilinéaire
P = prl : Y + X. La restriction de Jk(Idx, pr,) (cf. 12.3.9) à Pk(n) est un isomorphisme
de Pk(?r) sur Jk(X, Z), par lequel on identifie ces deux variétés.
12.5.3. Soit Y' une variété de classe Cr, soient m : Y + X et TT': Y' +- X des submersions et soit g: Y -t Y' un morphisme tel que P' 0 g = 71. L'application Jk(Idx, g)
a pour restriction une application
Pk(g) : Pk(P) + Pk(7r')
qui est de classe
Soit X' une variété de classe Cr, et soit f: X' + X un morphisme; posons
(Y', d) = f *(Y, P), cf. 5.1 1 S. L'application Jkdf, Idy) (cf. 12.3.9) définit une application de classe Cr-" de f *Pk(m) dans Pk(?r').
12.6. Jets & sections d'unjibré vectoriel
12.6.1. Soit E un fibré vectoriel de classe Cr de base X, et soit P sa projection. Soient
co = (U, pî, F,) une carte vectorielle de E et cl = (U, +, FI) une carte de la variété
X, de même domaine U. Ces cartes définissent une bijection 8 de Pk(n)lU sur
Jk(+Cv>, F,) = +(U) x F, x Qk(Fl, F,), cf. 12.2.2 et 12.3.1, d'oh une carte vectorielle
k
d = (U, 8, G), avec G = F, x Qk(F,, F,) = n Pm(Fl; F,)
m = O
de Pk(?r). Les cartes ainsi obtenues forment un Cr-k-atlas vectoriel, qui munit Pk(r)
d'une structure de fibré vectoriel de classe Cr-", de base X. Ce fibré vectoriel est noté
Pk(E); la structure de variété sous-jacente est celle définie en 12.5.1.
Soit U un ouvert de X, et soit f E g ( U ) une section de classe Cr de E au-dessus de
U. L'application j k( f )
: x H jim est une section de classe Cr-" de Pk(E) au-dessus de
U. L'application jk : g ( U ) 4 Y&;~(u) est K-linéaire.
12.6.2. Si F est un espace de Banach, l'identification (12.5.2) de Pk(Fx) avec Jk(X, F)
munit cette dernière variété d'une structure de fibré vectoriel de classe Cr-k, de base
X. Lorsque F = K, on écrit Pk(X) au lieu de Pk(Kx).
Exemple. - Prenons X = Kn, et notons ul, . . . , un les fonctions coordonnées sur
K"; alors la fibre Pt@) de P k(X) en O admet pour base la famille des jets d'ordre k
12.6.3. Soient d un entier 2 O, El, . . . , E,, F des fibrés vectoriels de classe Cr de base
X, et soit u: El xx- - - x, Ed -+ F un morphisme multilinéaire (7.3.l).de classe Cr. Il
existe alors un morphisme multilinéaire