no 5
JETS
57
12.4.3. Soit E un espace de Banach. Pour tout x E X, on appelle E-repère d'ordre k de
X en x tout élément inversible de J~(E, X),. L'ensemble des E-repères d'ordre k de X
est une sous-variété ouverte Rk(E, X) de J;(E, X); l'application 6 a pour restriction un
morphisme, encore noté b, de Rk(E, X) dans X; de même, si k' < k, on note encore
rJ". k' le morphisme de Rk(E, X) dans Rw(E, X), restriction de l'application rk. k' de
12.1.5.
12.4.4. On suppose que X est pure de type E (5.1.7). Le groupe GLk(E) opère à droite
sur Rk(E, X) par la loi (p, u) ++ p 0 u et le quadruplet Ax = (Rk(E, X), GLk(E), X, b)
est uneJibration principale (6.2.1) de groupe structural GLk(E), de base X et de classe
Cr-k
Si k' < k, soit H le noyau de rk. k': GLk(E) + GLw(E); le quadruplet
(Rk(E, X), H, Rk'(E, X), rk. '"') est une fibration principale de classe Cr-k.
La variété Jk(X, Y) est munie d'une structure d'espace fibré associé à A, (6.5.1):
la fibre type est J~(E, Y) sur laquelle GL~(E) opère à gauche par la loi (u, j ) ++ j O U - l ;
l'application repère R k ( ~ ,
X) x J~(E, Y) -t Jk(X, Y) transforme (p, j) en j 0 p-la La
projection Jk(X, Y) -t X correspondant à cette structure d'espace fibré est S.
12.4.5. Soit F un espace de Banach, et supposons Y pure de type F. Alors Jk(X, Y)
est munie d'une structure d'espace fibré associé à A, : la fibre type est Jk(X, F)o sur
laquelle GLk(F) opère à gauche par la loi (v, j) ++ v 0 j; l'application repère est
(O, j ) ++ u 0 j; la projection Jk(X, Y) + Y est b.
12.4.6. Les hypothèses étant celies de 12.4.4 et 12.4.5, soit ,
I
L la fibration principale
(Rk(E, X) x Rk(F, Y), GLk(E) x GLk@), X x Y, b x b),
produit de A, et A, . Alors Jk(X, Y) est munie d'une structure d'espace fibré associé
à p : la fibre type est JECE, F), sur laquelle GLk(E) x GLk(F) opère à gauche par la
loi ((u, v), j) ++ v o j o u-l; l'application repère est ((p, O), j ) ++ u 0 j 0 p-l; la projection Jk(X, Y) -t X x Y est (s, b).
12.5. Jets & sections
12.5.1. Soit n: Y -t X une submersion, soit x EX, et soit s E JE@, Y). On dit que s
est un jet de section (d'ordre k) de n si s est de la forme jXCf), où f est une section de
classe Cr de n au-dessus d'un voisinage ouvert de x ; cette condition équivaut à
j h ( 4 s = jtOdX)On note PE(n) (resp. Pk(n)) l'ensemble des jets s E JX(X, Y) (resp. Jk(X, Y)) qui sont
des jets de section de n; c'est une sous-variété de classe Cr-k de Jk(X, Y). Les applications
s: Pk(n) -+ X et 6: Pk(n) -+ Y
sont des submersions; si n est une fibration, ce sont des fibrations. Pour k = O, b
est un isomorphisme, par lequel on identifie Po(n) à Y.
Si k' < k, l'application P."': Jk(X, Y) -+ Jk'(X, Y) applique Pk(?r) dans Pk'(n);
l'application de Pk(n) dans Pk'(n) déduite de rk. k' est une fibration de classe Cr-k.
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12.4.3. Soit E un espace de Banach. Pour tout x E X, on appelle E-repère d'ordre k de
X en x tout élément inversible de J~(E, X),. L'ensemble des E-repères d'ordre k de X
est une sous-variété ouverte Rk(E, X) de J;(E, X); l'application 6 a pour restriction un
morphisme, encore noté b, de Rk(E, X) dans X; de même, si k' < k, on note encore
rJ". k' le morphisme de Rk(E, X) dans Rw(E, X), restriction de l'application rk. k' de
12.1.5.
12.4.4. On suppose que X est pure de type E (5.1.7). Le groupe GLk(E) opère à droite
sur Rk(E, X) par la loi (p, u) ++ p 0 u et le quadruplet Ax = (Rk(E, X), GLk(E), X, b)
est uneJibration principale (6.2.1) de groupe structural GLk(E), de base X et de classe
Cr-k
Si k' < k, soit H le noyau de rk. k': GLk(E) + GLw(E); le quadruplet
(Rk(E, X), H, Rk'(E, X), rk. '"') est une fibration principale de classe Cr-k.
La variété Jk(X, Y) est munie d'une structure d'espace fibré associé à A, (6.5.1):
la fibre type est J~(E, Y) sur laquelle GL~(E) opère à gauche par la loi (u, j ) ++ j O U - l ;
l'application repère R k ( ~ ,
X) x J~(E, Y) -t Jk(X, Y) transforme (p, j) en j 0 p-la La
projection Jk(X, Y) -t X correspondant à cette structure d'espace fibré est S.
12.4.5. Soit F un espace de Banach, et supposons Y pure de type F. Alors Jk(X, Y)
est munie d'une structure d'espace fibré associé à A, : la fibre type est Jk(X, F)o sur
laquelle GLk(F) opère à gauche par la loi (v, j) ++ v 0 j; l'application repère est
(O, j ) ++ u 0 j; la projection Jk(X, Y) + Y est b.
12.4.6. Les hypothèses étant celies de 12.4.4 et 12.4.5, soit ,
I
L la fibration principale
(Rk(E, X) x Rk(F, Y), GLk(E) x GLk@), X x Y, b x b),
produit de A, et A, . Alors Jk(X, Y) est munie d'une structure d'espace fibré associé
à p : la fibre type est JECE, F), sur laquelle GLk(E) x GLk(F) opère à gauche par la
loi ((u, v), j) ++ v o j o u-l; l'application repère est ((p, O), j ) ++ u 0 j 0 p-l; la projection Jk(X, Y) -t X x Y est (s, b).
12.5. Jets & sections
12.5.1. Soit n: Y -t X une submersion, soit x EX, et soit s E JE@, Y). On dit que s
est un jet de section (d'ordre k) de n si s est de la forme jXCf), où f est une section de
classe Cr de n au-dessus d'un voisinage ouvert de x ; cette condition équivaut à
j h ( 4 s = jtOdX)On note PE(n) (resp. Pk(n)) l'ensemble des jets s E JX(X, Y) (resp. Jk(X, Y)) qui sont
des jets de section de n; c'est une sous-variété de classe Cr-k de Jk(X, Y). Les applications
s: Pk(n) -+ X et 6: Pk(n) -+ Y
sont des submersions; si n est une fibration, ce sont des fibrations. Pour k = O, b
est un isomorphisme, par lequel on identifie Po(n) à Y.
Si k' < k, l'application P."': Jk(X, Y) -+ Jk'(X, Y) applique Pk(?r) dans Pk'(n);
l'application de Pk(n) dans Pk'(n) déduite de rk. k' est une fibration de classe Cr-k.