12.3.8. Soient k' et k" des entiers positifs de somme k. Soit x E X, soit U un voisinage
ouvert de x, et soit f: U + Y un morphisme de classe Cr. L'application
x - jE(f) : U -t Jk'(X, Y)
est de classe Cr-k' et son jet d'ordre k" en x ne dépend que de j
i
(
f
)
.
On obtient
ainsi une application canonique
a: Jk(X, Y) -+ Jk"(X, J"'(X, Y))
qui est de classe Cr-'"; si K est de caractéristique zéro, c'est un plongement.
12.3.9. Soient X', Y' des variétés de classe Cr, soient f: X -+ X' et g: Y' -+ Y des
morphismes, et soient (x, y') E X x Y', x' = f(x), y = g(y'). Si u E J$(X', Y' ),,,
posons
J E U d Y ( 4 = j3g) O u ojXW.
On obtient ainsi une appiication
JLÿ, g) : Jk(X', Y') x,, X -+ Jk(X, Y)
qui est de classe Cr-k.
12.3.10. Soit A une partie compacte de X. Soit %'"(X; Y) l'ensemble des applications
de classe CL de X dans Y. Pour tout f E Vk(X; Y), l'application jk(f)lA appartient
à l'ensemble '%(A; Jk(X, Y)) des applications continues de A dans JL(X, Y). On a
ainsi défini une application h de qk(X; Y) dans %'(A; Jk(X, Y)). L'image réciproque
par h de la topologie de la convergence compacte sur %(A; Jk(X, Y)) (TG, X, 8 3, déf. 1)
est une topologie sur Vk(X; Y); on l'appelle la topologie de la CL-convergence uniforme
sur A.
12.4. Repères et fibrutions principales
12.4.1. Soit j E Jk(X, Y) et soient x = s(j), y = b(j). On dit que j est inversible s'il
existe j' E JY(Y, X)% tel que j' 0 j = j,k(Ida et j 0 j' = j:(Id,);
le jet j' est alors déterminé de manière unique; on le note j - l . Si k = O, tout jet est inversible. Si k 2 1, les
conditions suivantes sont équivalentes :
a) j est inversible;
b) l'application T(j): T,(X) + Ty(Y) (cf. 12.3.4) est un isomorphisme;
c) il existe un isomorphisme g de classe Cr d'un voisinage ouvert de x sur un
voisinage ouvert de y, tel que jE(g) = j.
12.4.2. Soit E un espace de Banach. On note GLk(E) i'ensemble des jets d'ordre k de
E dans E qui sont inversibles et ont O pour source et pour but; c'est un ouvert de
Jt(E, E),. Muni de la loi de composition des jets, et de la structure de variété induite
par celle de l'espace de Banach JE@, E), = QL(E, E), c'est une variété de groupe de
classe Cm.
On a GLO(E) = (el. Le groupe GL1(E) s'identifie, au moyen de T, au groupe
GL(E) des automorphismes de E.
Si k' < k, l'application rL. k': GLL(E) -t GLk'(E) est un homomorphisme de classe
Ca et c'est une submersion surjective. L'application f - Id, + f est un isomorphisme
de variétés de groupes de Pk(E, E) sur le noyau de rk* "*.
ouvert de x, et soit f: U + Y un morphisme de classe Cr. L'application
x - jE(f) : U -t Jk'(X, Y)
est de classe Cr-k' et son jet d'ordre k" en x ne dépend que de j
i
(
f
)
.
On obtient
ainsi une application canonique
a: Jk(X, Y) -+ Jk"(X, J"'(X, Y))
qui est de classe Cr-'"; si K est de caractéristique zéro, c'est un plongement.
12.3.9. Soient X', Y' des variétés de classe Cr, soient f: X -+ X' et g: Y' -+ Y des
morphismes, et soient (x, y') E X x Y', x' = f(x), y = g(y'). Si u E J$(X', Y' ),,,
posons
J E U d Y ( 4 = j3g) O u ojXW.
On obtient ainsi une appiication
JLÿ, g) : Jk(X', Y') x,, X -+ Jk(X, Y)
qui est de classe Cr-k.
12.3.10. Soit A une partie compacte de X. Soit %'"(X; Y) l'ensemble des applications
de classe CL de X dans Y. Pour tout f E Vk(X; Y), l'application jk(f)lA appartient
à l'ensemble '%(A; Jk(X, Y)) des applications continues de A dans JL(X, Y). On a
ainsi défini une application h de qk(X; Y) dans %'(A; Jk(X, Y)). L'image réciproque
par h de la topologie de la convergence compacte sur %(A; Jk(X, Y)) (TG, X, 8 3, déf. 1)
est une topologie sur Vk(X; Y); on l'appelle la topologie de la CL-convergence uniforme
sur A.
12.4. Repères et fibrutions principales
12.4.1. Soit j E Jk(X, Y) et soient x = s(j), y = b(j). On dit que j est inversible s'il
existe j' E JY(Y, X)% tel que j' 0 j = j,k(Ida et j 0 j' = j:(Id,);
le jet j' est alors déterminé de manière unique; on le note j - l . Si k = O, tout jet est inversible. Si k 2 1, les
conditions suivantes sont équivalentes :
a) j est inversible;
b) l'application T(j): T,(X) + Ty(Y) (cf. 12.3.4) est un isomorphisme;
c) il existe un isomorphisme g de classe Cr d'un voisinage ouvert de x sur un
voisinage ouvert de y, tel que jE(g) = j.
12.4.2. Soit E un espace de Banach. On note GLk(E) i'ensemble des jets d'ordre k de
E dans E qui sont inversibles et ont O pour source et pour but; c'est un ouvert de
Jt(E, E),. Muni de la loi de composition des jets, et de la structure de variété induite
par celle de l'espace de Banach JE@, E), = QL(E, E), c'est une variété de groupe de
classe Cm.
On a GLO(E) = (el. Le groupe GL1(E) s'identifie, au moyen de T, au groupe
GL(E) des automorphismes de E.
Si k' < k, l'application rL. k': GLL(E) -t GLk'(E) est un homomorphisme de classe
Ca et c'est une submersion surjective. L'application f - Id, + f est un isomorphisme
de variétés de groupes de Pk(E, E) sur le noyau de rk* "*.