no 3
JETS
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applications g, et a, b définissent, par transport de structure, une bijection T de Jk(U, V)
sur
Jk(g,(U), +O) = TOT) x 4 0 x Qk@, FI,
cf. 12.2.2. Si l'on pose W = Jk(U, V) et G = E x F x Qk(E, F), le triplet (W, T, G)
est une carte de Jk(X, Y). Les cartes ainsi obtenues forment un C7-k-atlas et celui-ci
munit Jk(X, Y) d'une structure de K-variété de classe Cr-k.'l)
Si ( x , y) E X x Y, les ensembles JX(X, Y), Jk(X, Y), et JE@, Y), sont des sousvariétés fermées de Jk(X, Y).
12.3.2. Si X et Y sont pures (resp. de dimension finie, resp. séparées, resp. connexes),
il en est de même de Jk(X, Y).
Si U (resp. V) est ouvert dans X (resp. dans Y), Jk(U, V) est une sous-variété
ouverte de Jk(X, Y), cf. 12.1.3.
12.3.3. Les applications s: Jk(X, Y) + X, b: Jk(X, Y) -+ Y et (s, b): Jk(X, Y) -+ X x Y
sont des fibrations (6.1.1) de classe Cr-k. Lorsque k = O, (s, b) est un isomorphisme.
12.3.4. Notons Tx et Ty les fibrés vectoriels pr; T(X) et pr2 TOI) sur X x Y, et soit
9 ( T x ; Ty) le fibré des homomorphismes de Tx dans Ty (7.7.3); si (x, y) E X x Y, on a
Soit j E Jk(X, Y), k 2 1, et soit f E j. L'application tangente à f en x = s(j) ne
dépend que de j ; on la note T(j); c'est un élémentde Z(T,(X); Tu(-), où y = b(j).
Lorsque k = 1 l'application
T: J1(X, Y) 9(Tx; Tp)
ainsi définie est un isomorphisme de variétés de classe Cr-l.
Pour X = K, cet isomorphisme identifie JO@, Y) à TOI); pour Y = K, il identifie
J1(X, K)o au dual T'(X) de T(X).
12.3.5. Soit k' un entier tel que O < k' < k. L'application
IJC. k' : Jk(X, Y) + Jk'(X, Y)
(cf. 12.1.5)
est une fibration de classe Cr-".
12.3.6. Soit Z une variété de classe Cr, et soit T l'ensemble des couples
(j,j? E Jk(X, Y) x JkW, Z)
tels que b(j) = s(jl). Alors T est une sous-variété de Jk(X, Y) x Jk(Y, Z) et l'application (j, j') H j ' O j est un morphisme de classe
de T dans Jk(X, Z).
12.3.7. Si fi X + Y est un morphisme de classe Cr, l'application x ++ jX(fl est un
morphisme jk(f) de classe Cr-'" de X dans Jk(X, Y).
l Lorsque k = r (ce qui n'est possible que si K = R), Jk(X, Y) est munie d'une structure de
variété topologique (cf. Conventions et Notations) et les morphismes et fibrations considérées ciaprès doivent être pris dans un sens purement topologique (cf. note de bas de page du 96).
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applications g, et a, b définissent, par transport de structure, une bijection T de Jk(U, V)
sur
Jk(g,(U), +O) = TOT) x 4 0 x Qk@, FI,
cf. 12.2.2. Si l'on pose W = Jk(U, V) et G = E x F x Qk(E, F), le triplet (W, T, G)
est une carte de Jk(X, Y). Les cartes ainsi obtenues forment un C7-k-atlas et celui-ci
munit Jk(X, Y) d'une structure de K-variété de classe Cr-k.'l)
Si ( x , y) E X x Y, les ensembles JX(X, Y), Jk(X, Y), et JE@, Y), sont des sousvariétés fermées de Jk(X, Y).
12.3.2. Si X et Y sont pures (resp. de dimension finie, resp. séparées, resp. connexes),
il en est de même de Jk(X, Y).
Si U (resp. V) est ouvert dans X (resp. dans Y), Jk(U, V) est une sous-variété
ouverte de Jk(X, Y), cf. 12.1.3.
12.3.3. Les applications s: Jk(X, Y) + X, b: Jk(X, Y) -+ Y et (s, b): Jk(X, Y) -+ X x Y
sont des fibrations (6.1.1) de classe Cr-k. Lorsque k = O, (s, b) est un isomorphisme.
12.3.4. Notons Tx et Ty les fibrés vectoriels pr; T(X) et pr2 TOI) sur X x Y, et soit
9 ( T x ; Ty) le fibré des homomorphismes de Tx dans Ty (7.7.3); si (x, y) E X x Y, on a
Soit j E Jk(X, Y), k 2 1, et soit f E j. L'application tangente à f en x = s(j) ne
dépend que de j ; on la note T(j); c'est un élémentde Z(T,(X); Tu(-), où y = b(j).
Lorsque k = 1 l'application
T: J1(X, Y) 9(Tx; Tp)
ainsi définie est un isomorphisme de variétés de classe Cr-l.
Pour X = K, cet isomorphisme identifie JO@, Y) à TOI); pour Y = K, il identifie
J1(X, K)o au dual T'(X) de T(X).
12.3.5. Soit k' un entier tel que O < k' < k. L'application
IJC. k' : Jk(X, Y) + Jk'(X, Y)
(cf. 12.1.5)
est une fibration de classe Cr-".
12.3.6. Soit Z une variété de classe Cr, et soit T l'ensemble des couples
(j,j? E Jk(X, Y) x JkW, Z)
tels que b(j) = s(jl). Alors T est une sous-variété de Jk(X, Y) x Jk(Y, Z) et l'application (j, j') H j ' O j est un morphisme de classe
de T dans Jk(X, Z).
12.3.7. Si fi X + Y est un morphisme de classe Cr, l'application x ++ jX(fl est un
morphisme jk(f) de classe Cr-'" de X dans Jk(X, Y).
l Lorsque k = r (ce qui n'est possible que si K = R), Jk(X, Y) est munie d'une structure de
variété topologique (cf. Conventions et Notations) et les morphismes et fibrations considérées ciaprès doivent être pris dans un sens purement topologique (cf. note de bas de page du 96).