12.1.5. Soit j E JJC(X, Y), avec x E X, et soit k' un entier tel que O < k' < k. Les
jets jF(f), pour f E j, sont égaux; le jet ainsi défini est noté IJC*k'(j); l'application
r ~ .
kr: ~k (X, Y) -t J k'(X, Y) est surjective.
12.1.6. Supposons r égal à co ou à w. Soient f et g deux applications de classe Cr définies
au voisinage d'un point x E X, et à valeurs dans Y. Si j , "( f ) = j,"(g) pour tout entier
m 2 O, on dit que f et g ont un contact d'ordre infini en x. On obtient ainsi une relation
d'équivalence dont les classes s'appellent les jets d'ordre infini en x ; le jet d'ordre
infini de f se note j,"(f) ou j
? (
f
)
.
Les définitions et résultats qui précèdent s'étendent
sans modification aux jets d'ordre infini.
12.2. Jets d'applications d'espaces de Banach
Dans ce no, E et F désignent deux espaces de Banach. Si m est un entier >O, on note
Pm@; F) l'espace de Banach des polynômes-continus homogènes de degré m sur E à
valeurs dans F (Ière partie, Appendice, A.2).
12.2.1. Soit U un ouvert de E, soit f: U -t F une application de classe Cr, et soit
a E U. Il existe un polynôme-continu
et un seul, qui soit de degré Gk, et qui ait même jet d'ordre k à l'origine
que x ++ f (X - a). Si O < m < k, la m-ième composante fm de f est notée Amf (a) ou
A:(f). Lorsque r = w, cette notation coïncide avec celle de 3.2.1 et 4.2.1; lorsque
r < a , o n a
m ! Amf (a)@) = Dmf (a)(h, . . . , h) = Dmf (a). hm.
L'application f ~ f d é h i t
par passage au quotient une bijection de Ja(E, F) sur
n Pm@; F) au moyen de laquelle on identifie ces deux espaces; en particulier,
0 4 m 4 k
Jg(E, F) est muni d'une structure d'espace de Banach s u K. Si j E Jg(E, F), on note
A:(j) la m-ième composante de j; on a
AgG) E Pm@; F)
pour
O < m < k, et Aa(j) = b(j) E F.
12.2.2. Soit U (resp. V) un ouvert de E (resp. F). Notons Qk(E, F) l'espace de Banach
produit des Pm(E; F) pour 1 < m < k. L'application
est une bijection de J &(U, V) sur U x V x Qk(E, F), au moyen de laquelle on identifie
ces deux ensembles. En particulier, JO@, F), s'identifie à Qk(E, F).
12.3. Variétés de jets
12.3.1. Soient c = (U, q, E) et c' = (V, +, F) des cartes de X et Y respectivement. Les
jets jF(f), pour f E j, sont égaux; le jet ainsi défini est noté IJC*k'(j); l'application
r ~ .
kr: ~k (X, Y) -t J k'(X, Y) est surjective.
12.1.6. Supposons r égal à co ou à w. Soient f et g deux applications de classe Cr définies
au voisinage d'un point x E X, et à valeurs dans Y. Si j , "( f ) = j,"(g) pour tout entier
m 2 O, on dit que f et g ont un contact d'ordre infini en x. On obtient ainsi une relation
d'équivalence dont les classes s'appellent les jets d'ordre infini en x ; le jet d'ordre
infini de f se note j,"(f) ou j
? (
f
)
.
Les définitions et résultats qui précèdent s'étendent
sans modification aux jets d'ordre infini.
12.2. Jets d'applications d'espaces de Banach
Dans ce no, E et F désignent deux espaces de Banach. Si m est un entier >O, on note
Pm@; F) l'espace de Banach des polynômes-continus homogènes de degré m sur E à
valeurs dans F (Ière partie, Appendice, A.2).
12.2.1. Soit U un ouvert de E, soit f: U -t F une application de classe Cr, et soit
a E U. Il existe un polynôme-continu
et un seul, qui soit de degré Gk, et qui ait même jet d'ordre k à l'origine
que x ++ f (X - a). Si O < m < k, la m-ième composante fm de f est notée Amf (a) ou
A:(f). Lorsque r = w, cette notation coïncide avec celle de 3.2.1 et 4.2.1; lorsque
r < a , o n a
m ! Amf (a)@) = Dmf (a)(h, . . . , h) = Dmf (a). hm.
L'application f ~ f d é h i t
par passage au quotient une bijection de Ja(E, F) sur
n Pm@; F) au moyen de laquelle on identifie ces deux espaces; en particulier,
0 4 m 4 k
Jg(E, F) est muni d'une structure d'espace de Banach s u K. Si j E Jg(E, F), on note
A:(j) la m-ième composante de j; on a
AgG) E Pm@; F)
pour
O < m < k, et Aa(j) = b(j) E F.
12.2.2. Soit U (resp. V) un ouvert de E (resp. F). Notons Qk(E, F) l'espace de Banach
produit des Pm(E; F) pour 1 < m < k. L'application
est une bijection de J &(U, V) sur U x V x Qk(E, F), au moyen de laquelle on identifie
ces deux ensembles. En particulier, JO@, F), s'identifie à Qk(E, F).
12.3. Variétés de jets
12.3.1. Soient c = (U, q, E) et c' = (V, +, F) des cartes de X et Y respectivement. Les