12. Jets
Dans ce paragraphe, on note X et Y deux variétés de classe Cr, où r E NK, et k un
entier tel que O < k < r.
A partir du no 12.3, on suppose:
- soit que K est de caractéristique zéro;
-soit que les variétés, espaces de Banach et fibrés vectoriels considérés sont
localement de dimension finie.
12.1. Jets d'applications
12.1.1. Soit x E X et soientf, g deux applications continues définies au voisinage de x et
à valeurs dans Y. On dit que f et g ont un contact d'ordre 2 k en x si Son a f (x) = g(x)
et s'il existe des cartes (U, F, E) de X en x et (V, 4, F) de Y en f(x) telles que les
applications z ,
h 0 f 0 9-1 et $ 0 g 0 v-l, définies au voisinage de ~ ( x )
dans E et à valeurs
dans F, aient un contact d'ordre > k en ~ ( x )
(1.1.2). Cette propriété est alors vérifiée
par toutes les cartes de X en x et de Y en f (x).
12.1.2. Soient x E X, y E Y. Dans l'ensemble des applications de classe Cr définies au
voisinage de x, à valeurs dans Y, et appliquant x sur y, la relation a f et g ont un contact d'ordre > k » est une relation d'équivalence; la classe de f pour cette relation
se note jXCf) et s'appelle le jet d'ordre k de f de source x et de but y. La source d'un
jet j est notée s(j) et son but b(j).
L'ensemble des jets d'ordre k de X dans Y (resp. de source x, resp. de but y) est
noté Jk(X, Y) (resp. JX(X, Y), resp. Jk(X, Y),) et l'on pose
JE@, Y), = JE(X7 Y) n Jk(X, Y),.
12.1.3. Si U et V sont des ouverts de X et Y respectivement, on identifie de façon
évidente Jk(U, V) à l'image réciproque de U x V par l'application
(s, b): Jk(X, Y)+X x Y.
12.1.4. Soit Z une variété de classe Cr, et soit (x, y, z) E X x Y x Z. Soit j E JE@, Y),
et soit j' E J,k(Y, z),. Les applications f' of, avec f E j et f' Ej', ont même jet d'ordre
k en x; ce jet s'appelle le composé de j et j' et se note j' 0 j ; on a s(j' 0 j ) = s(j) et
b(jf 0 j) = b(j'). Si T est une variété de classe Cr et si j" E Jf(Z, T), on a
j " O (j' O j) = (j" O j') O j.
Dans ce paragraphe, on note X et Y deux variétés de classe Cr, où r E NK, et k un
entier tel que O < k < r.
A partir du no 12.3, on suppose:
- soit que K est de caractéristique zéro;
-soit que les variétés, espaces de Banach et fibrés vectoriels considérés sont
localement de dimension finie.
12.1. Jets d'applications
12.1.1. Soit x E X et soientf, g deux applications continues définies au voisinage de x et
à valeurs dans Y. On dit que f et g ont un contact d'ordre 2 k en x si Son a f (x) = g(x)
et s'il existe des cartes (U, F, E) de X en x et (V, 4, F) de Y en f(x) telles que les
applications z ,
h 0 f 0 9-1 et $ 0 g 0 v-l, définies au voisinage de ~ ( x )
dans E et à valeurs
dans F, aient un contact d'ordre > k en ~ ( x )
(1.1.2). Cette propriété est alors vérifiée
par toutes les cartes de X en x et de Y en f (x).
12.1.2. Soient x E X, y E Y. Dans l'ensemble des applications de classe Cr définies au
voisinage de x, à valeurs dans Y, et appliquant x sur y, la relation a f et g ont un contact d'ordre > k » est une relation d'équivalence; la classe de f pour cette relation
se note jXCf) et s'appelle le jet d'ordre k de f de source x et de but y. La source d'un
jet j est notée s(j) et son but b(j).
L'ensemble des jets d'ordre k de X dans Y (resp. de source x, resp. de but y) est
noté Jk(X, Y) (resp. JX(X, Y), resp. Jk(X, Y),) et l'on pose
JE@, Y), = JE(X7 Y) n Jk(X, Y),.
12.1.3. Si U et V sont des ouverts de X et Y respectivement, on identifie de façon
évidente Jk(U, V) à l'image réciproque de U x V par l'application
(s, b): Jk(X, Y)+X x Y.
12.1.4. Soit Z une variété de classe Cr, et soit (x, y, z) E X x Y x Z. Soit j E JE@, Y),
et soit j' E J,k(Y, z),. Les applications f' of, avec f E j et f' Ej', ont même jet d'ordre
k en x; ce jet s'appelle le composé de j et j' et se note j' 0 j ; on a s(j' 0 j ) = s(j) et
b(jf 0 j) = b(j'). Si T est une variété de classe Cr et si j" E Jf(Z, T), on a
j " O (j' O j) = (j" O j') O j.