d) Si w est de degré n + p et de classe Cl, on a
e) Supposons que S soit réduite à un point. Les formesm-tordues sur Xsont alors les
formes tordues ordinaires (10.4.1). Si w est de degrt n, la forme LIA w de degré O sur S
est la constante jA o (10.4.3).
11.4.8. Soit m': S -t S' une submersion telle que les fibres de m' soient des sousvariétés pures de dimension finie constante n'. Posons n" = n' OP; c'est une submersion de X sur S' dont les fibres sont des sous-variétés pures de dimension
m = n + nt.
Soit x E X. La suite
est exacte. Il existe un isomorphisme j et un seul du fibré vectoriel fi, @ m*(a,) sur
fi,., tel que, si 5 (resp. 7)) est une orientation de T(X/S), (resp. de (m*T(S/S')), identifié
à T(S/S1),(,), on ait j ( t
= v t (le produit étant défini par la suite exacte précédente (10.2.1)).
Soit M' un fibré vectoriel de base S'; posons M = m'*(NIf), et E = n*(M) =
n"*(Mf). Si w est une forme différentielle m''-tordue sur X à valeurs dans E, I'isomorphisme j permet de l'identifier à une forme ?r-tordue à valeurs dans ?r*(&) @ E, ou
encore à valeurs dans m*(R, @ M).
Soit de plus A une pièce de X telle que mlûA: ûA -t S soit une submersion; il en
est alors de même de ?rnlaA: ôA +- S'. Supposons en outre que w soit continue et que
la restriction de m" à A n Supp w soit propre; il en est alors de même de la restriction
de a à A n Supp o. On peut considérer d'une part la forme différentielle LIA o
sur S', qui est une forme à valeurs dans MF, d'autre part la forme différentielle LIA w
sur S, qui est une forme à valeurs dans fi,, @ M, ou encore une forme n'-tordue à
valeurs dans M = m'*(MI). De plus, m(A) est une sous-variété ouverte de S et la
restriction de w' à P(A) n Supp LIA w est propre. La forme différentielle ka,, jnlA w
est définie; c'est une forme différentielle sur S' , à valeurs dans M'. On a
e) Supposons que S soit réduite à un point. Les formesm-tordues sur Xsont alors les
formes tordues ordinaires (10.4.1). Si w est de degrt n, la forme LIA w de degré O sur S
est la constante jA o (10.4.3).
11.4.8. Soit m': S -t S' une submersion telle que les fibres de m' soient des sousvariétés pures de dimension finie constante n'. Posons n" = n' OP; c'est une submersion de X sur S' dont les fibres sont des sous-variétés pures de dimension
m = n + nt.
Soit x E X. La suite
est exacte. Il existe un isomorphisme j et un seul du fibré vectoriel fi, @ m*(a,) sur
fi,., tel que, si 5 (resp. 7)) est une orientation de T(X/S), (resp. de (m*T(S/S')), identifié
à T(S/S1),(,), on ait j ( t
= v t (le produit étant défini par la suite exacte précédente (10.2.1)).
Soit M' un fibré vectoriel de base S'; posons M = m'*(NIf), et E = n*(M) =
n"*(Mf). Si w est une forme différentielle m''-tordue sur X à valeurs dans E, I'isomorphisme j permet de l'identifier à une forme ?r-tordue à valeurs dans ?r*(&) @ E, ou
encore à valeurs dans m*(R, @ M).
Soit de plus A une pièce de X telle que mlûA: ûA -t S soit une submersion; il en
est alors de même de ?rnlaA: ôA +- S'. Supposons en outre que w soit continue et que
la restriction de m" à A n Supp w soit propre; il en est alors de même de la restriction
de a à A n Supp o. On peut considérer d'une part la forme différentielle LIA o
sur S', qui est une forme à valeurs dans MF, d'autre part la forme différentielle LIA w
sur S, qui est une forme à valeurs dans fi,, @ M, ou encore une forme n'-tordue à
valeurs dans M = m'*(MI). De plus, m(A) est une sous-variété ouverte de S et la
restriction de w' à P(A) n Supp LIA w est propre. La forme différentielle ka,, jnlA w
est définie; c'est une forme différentielle sur S' , à valeurs dans M'. On a