no 4
FORMULE DE STOKES
51
11.4.5 ((( Produit intérieur a). Soit p un entier 20 et soit w une forme différentielle
m-tordue de degré n + p sur X, à valeurs dans un fibré vectoriel E de base X. Soient
s E S et x EX,; on a w(x) = t @ u, où 5 est une orientation de Tx(Xs) = T(X/S),,
identifiée à un élément de (RXJx = (Rn), (10.3.2), et où u est une application
(n + p)-linéaire alternée de T,(X) dans Ex. Soient t,, . . . , t, des vecteurs tangents à
S en S. )Posons
(cf. 11.4.1). On définit ainsi une forme différentielle tordue 8: x I + B(x) de degré n
sur X,, à valeurs dans EIX,. On la note w L (t,, . . ., t,).
En particulier, soit M un fibré vectoriel de classe Cr-, de base S et prenons
E = m*(M). Le fibré EIXs s'identifie naturellement au fibré trivial de base X, défini
par l'espace de Banach M, et la forme w L (&, . . . , t,) s'identifie à une forme différentielle tordue sur X,, à valeurs dans M,.
1 1.4.6. Conservons les notations précédentes (en particulier E = P(*M)) et supposons
de plus que X soit séparée et w continue. Soit A une pièce de X telle que la restriction
de P à 8A soit une submersion et que la restriction de P à l'intersection de A et du
support de w soit propre. Pour s G S et t,, . . . , t, dans T,(S), la forme w L (t,, . . . , t,)
(1 1.4.5) est une forme différentielle tordue de degré n sur X,, continue, à valeurs dans
l'espace de Banach M,, et son support rencontre A, suivant un compact. Il existe une
forme différentielle cc et une seule de degré p sur S, à valeurs dans le fibré vectoriel
M, et telle que
cc(s)(t17 . . . 7 t p ) = IAs (t17 . . - 9
quels que soient s E S et t,, . . . , t, dans T,(S). La forme cr se note Sn,, w (ou simplement
w lorsque A = X); on dit qu'elle s'obtient en intégrant w sur A le long desjibres de T .
Si w est de classe CL (O < k < r - 1, k < a), il en est de même de fnlA W.
Lorsque w est une forme de degré c n, on convient que saIA w = 0.
1 1.4.7. Conservons les hypothèses et notations précédentes.
a) Pour toute forme différentielle scalaire continue sur S, on a
b) Soient 7 un champ de vecteurs continu sur X et 5 un champ de vecteurs continu
sur S, tels que ri soit m-lié à 5 (8.2.6). On a
c) Supposons de plus que 7, 5 et w soient de classe Cl, que l'on ait ~ ( x )
E Tx(âA)
pour tout x E ûA et que M soit le fibré trivial défini par un espace de Banach E. On a
(cf. 8.4.2 et 10.3.4).
FORMULE DE STOKES
51
11.4.5 ((( Produit intérieur a). Soit p un entier 20 et soit w une forme différentielle
m-tordue de degré n + p sur X, à valeurs dans un fibré vectoriel E de base X. Soient
s E S et x EX,; on a w(x) = t @ u, où 5 est une orientation de Tx(Xs) = T(X/S),,
identifiée à un élément de (RXJx = (Rn), (10.3.2), et où u est une application
(n + p)-linéaire alternée de T,(X) dans Ex. Soient t,, . . . , t, des vecteurs tangents à
S en S. )Posons
(cf. 11.4.1). On définit ainsi une forme différentielle tordue 8: x I + B(x) de degré n
sur X,, à valeurs dans EIX,. On la note w L (t,, . . ., t,).
En particulier, soit M un fibré vectoriel de classe Cr-, de base S et prenons
E = m*(M). Le fibré EIXs s'identifie naturellement au fibré trivial de base X, défini
par l'espace de Banach M, et la forme w L (&, . . . , t,) s'identifie à une forme différentielle tordue sur X,, à valeurs dans M,.
1 1.4.6. Conservons les notations précédentes (en particulier E = P(*M)) et supposons
de plus que X soit séparée et w continue. Soit A une pièce de X telle que la restriction
de P à 8A soit une submersion et que la restriction de P à l'intersection de A et du
support de w soit propre. Pour s G S et t,, . . . , t, dans T,(S), la forme w L (t,, . . . , t,)
(1 1.4.5) est une forme différentielle tordue de degré n sur X,, continue, à valeurs dans
l'espace de Banach M,, et son support rencontre A, suivant un compact. Il existe une
forme différentielle cc et une seule de degré p sur S, à valeurs dans le fibré vectoriel
M, et telle que
cc(s)(t17 . . . 7 t p ) = IAs (t17 . . - 9
quels que soient s E S et t,, . . . , t, dans T,(S). La forme cr se note Sn,, w (ou simplement
w lorsque A = X); on dit qu'elle s'obtient en intégrant w sur A le long desjibres de T .
Si w est de classe CL (O < k < r - 1, k < a), il en est de même de fnlA W.
Lorsque w est une forme de degré c n, on convient que saIA w = 0.
1 1.4.7. Conservons les hypothèses et notations précédentes.
a) Pour toute forme différentielle scalaire continue sur S, on a
b) Soient 7 un champ de vecteurs continu sur X et 5 un champ de vecteurs continu
sur S, tels que ri soit m-lié à 5 (8.2.6). On a
c) Supposons de plus que 7, 5 et w soient de classe Cl, que l'on ait ~ ( x )
E Tx(âA)
pour tout x E ûA et que M soit le fibré trivial défini par un espace de Banach E. On a
(cf. 8.4.2 et 10.3.4).