11.4.1. Soient E et H deux espaces vectoriels et soit F un sous-espace vectoriel de
dimension finie n de H. Soient p un entier 20, u une application (n -I- p)-linéaire
alternée de Hn+P dans E et t,, . . ., tp des éléments de H/F; soient t;, . . ., ti des
représentants de t,, . . . , tp dans H. L'application
(x,, . . . , x,) ++ ~ ( t ; , . . . y tp, x,, . - -, xn)
est une application n-linéaire alternée de Fn dans E, qui ne dépend que de u et des
ti; on la note u L (tl, . . ., tp) (cf. A, III, p. 158 pour le cas particulier E = K).
L'application
ttl, . . - 7 tp) ++ u L (Il, . . ., tp)
est p-linéaire alternée.
11.4.2 (<( P-torsion ))). Considérons le fibré vectoriel T(X/S) sur X (8.1.3) ; il est de rang
fini n en chaque point de X. On pose an = RTcmsl (10.3.1) et i i , = OrTcxln (10.2.2).
Soit s E S ; compte tenu de l'identification naturelle de T(X/S)IX, avec TVs) (8.1.3), la
fibre en s de l'application 5 : x, -t S composée de P et de l'application canonique
+ X, est fZ, (10.2.4). On appelle forme dzj&entielle P-tordue sur X une forme
différentielle T(X/S)-tordue (10.3.3).
11.4.3 ((( S-orientation d'un S-morphisme O). Soit X' une variété munie d'une submersion P' : X' -f S dont les fibres X, sont pures de dimension finie n' , et soit p,: X'+X
un morphisme tel que P' = P o q. On appelle S-orientation de p, un morphisme
9 : %;. + R, cornmutant à l'action du groupe {k 1) et tel que le diagramme
soit commutatif. La donnée d'une S-orientation de p, permet, comme en 10.4.2,
d'identifier les fibrés finp et
et de définir l'image réciproque d'une forme différentielle P-tordue par le morphisme S-orienté q: c'est une forme différentielle
n'-tordue sur X' .
11.4.4. Soit A une pièce de X telle que la restriction de P à ôA soit une submersion.
Pour tout s E S, la fibre X, = P-~(s) est une sous-variété de X transversale à aA et
A n X, est une pièce de X,, notée A,, de bord ôA n X,.
Soit i l'injection canonique de ôA dans X. Il existe une S-orientation 5 et une seule
de i telle que, pour tout s E S, la restriction de i" à (ûAJ" (identifié à la fibre en s de la
submersion ô&&,
-t S) soit l'orientation définie en 1 1.2.1 de l'injection canonique de
aA, dans X,. Si w est une forme différentielle P-tordue sur X, l'image réciproque de
w par le morphisme i ainsi orienté est notée wlaA (cf. 11.2.2).
dimension finie n de H. Soient p un entier 20, u une application (n -I- p)-linéaire
alternée de Hn+P dans E et t,, . . ., tp des éléments de H/F; soient t;, . . ., ti des
représentants de t,, . . . , tp dans H. L'application
(x,, . . . , x,) ++ ~ ( t ; , . . . y tp, x,, . - -, xn)
est une application n-linéaire alternée de Fn dans E, qui ne dépend que de u et des
ti; on la note u L (tl, . . ., tp) (cf. A, III, p. 158 pour le cas particulier E = K).
L'application
ttl, . . - 7 tp) ++ u L (Il, . . ., tp)
est p-linéaire alternée.
11.4.2 (<( P-torsion ))). Considérons le fibré vectoriel T(X/S) sur X (8.1.3) ; il est de rang
fini n en chaque point de X. On pose an = RTcmsl (10.3.1) et i i , = OrTcxln (10.2.2).
Soit s E S ; compte tenu de l'identification naturelle de T(X/S)IX, avec TVs) (8.1.3), la
fibre en s de l'application 5 : x, -t S composée de P et de l'application canonique
+ X, est fZ, (10.2.4). On appelle forme dzj&entielle P-tordue sur X une forme
différentielle T(X/S)-tordue (10.3.3).
11.4.3 ((( S-orientation d'un S-morphisme O). Soit X' une variété munie d'une submersion P' : X' -f S dont les fibres X, sont pures de dimension finie n' , et soit p,: X'+X
un morphisme tel que P' = P o q. On appelle S-orientation de p, un morphisme
9 : %;. + R, cornmutant à l'action du groupe {k 1) et tel que le diagramme
soit commutatif. La donnée d'une S-orientation de p, permet, comme en 10.4.2,
d'identifier les fibrés finp et
et de définir l'image réciproque d'une forme différentielle P-tordue par le morphisme S-orienté q: c'est une forme différentielle
n'-tordue sur X' .
11.4.4. Soit A une pièce de X telle que la restriction de P à ôA soit une submersion.
Pour tout s E S, la fibre X, = P-~(s) est une sous-variété de X transversale à aA et
A n X, est une pièce de X,, notée A,, de bord ôA n X,.
Soit i l'injection canonique de ôA dans X. Il existe une S-orientation 5 et une seule
de i telle que, pour tout s E S, la restriction de i" à (ûAJ" (identifié à la fibre en s de la
submersion ô&&,
-t S) soit l'orientation définie en 1 1.2.1 de l'injection canonique de
aA, dans X,. Si w est une forme différentielle P-tordue sur X, l'image réciproque de
w par le morphisme i ainsi orienté est notée wlaA (cf. 11.2.2).