no 4
FORMULE DE STOKES
49
11.3.1. Soit A une partie d'un espace vectoriel réel de dimension finie. On dit que A
est polyédrale si elle réunion nnie d'intersections finies de demi-espaces fermés.
Une partie A de X est dite localement polyédrale si, pour tout x E X, il existe une
carte c = (U, q, E) de X en x et une partie polyédrale A, de E telles que
q(A n U) = p(U) n A,. Une pièce de X est une partie localement polyédrale.
11.3.2. Soit A une partie fermée de X, et soit Fr(A) = A - A sa frontière. Un point
x E Fr(A) est dit régulier s'il existe un voisinage ouvert U de x tel que A n U soit une
pièce de la variété U (auquel cas x appartient au bord de A n U). On note aA l'ensemble des points réguliers de Fr(A) et on l'appelle le bord régulier (ou simplement
le bord) de A. L'ensemble A' = A u aA est une pièce de X, de bord ôA.
11.3.3. * Exemple. -Soit Û P un ensemble localement fini d'hyperplans d'un espace
a f h e réel E de dimension h i e n, et soit C une chambre de E relativement à i ? ? (LIE,
V, 5 1, no 3). L'adhérence C de C est une partie localement polyédrale de la variété E;
le bord régulier de est la réunion des faces de C (loc. cit., no 4). En particulier, si C
est un simplexe ouvert (loc. cit., no 6) de sommets a,, . . . , a,, le bord de C est la réunion
des C{*, (O < i < n), où C{i, est le simplexe ouvert de sommets a,, . . . , ai - l, ai + l, . . . , a,
dans l'espace affine engendré par ces sommets.,
11.3.4. Soit A une partie localement polyédrale de X, et soit w une forme différentielle
tordue de degré n - 1 sur X à valeurs dans un espace de Banach E; on suppose que w
est de classe C1 et que l'intersection de son support avec A est compacte. Alors, la
fonction caractéristique de A (resp. A', A) est essentiellement intégrable pour la
mesure vectorielle définie par dw sur X et l'on a
La forme différentielle wjôA (pour l'orientation canonique de l'injection canonique de
aA, considéré comme le bord de la pièce A', dans X) est intégrable dans i 3A et l'on a
Ldw = h
w
(u formule de Stokes )>).
Lorsque X est munie d'une orientation, et que l'on munit aA de l'orientation correspondante (1 1.2.1), cette formule est encore valable si w est une forme différentielle
usuelle de degré n - 1 à valeurs dans E, de classe C1 et telle que A n Supp w soit
compact.
71.4. Formule de Stokes relative (intégration sur les fibues)
Dans ce numéro, on désigne par X et S deux variétés (réelles) de classe Cr et par
v: X + S une submersion. On désigne par n un entier et on suppose que, pour tout
s E S, la fibre X, = v-l(s) de T en s (qui est une sous-variété de X (5.10.5)) est pure
de dimension n.
+B.
FORMULE DE STOKES
49
11.3.1. Soit A une partie d'un espace vectoriel réel de dimension finie. On dit que A
est polyédrale si elle réunion nnie d'intersections finies de demi-espaces fermés.
Une partie A de X est dite localement polyédrale si, pour tout x E X, il existe une
carte c = (U, q, E) de X en x et une partie polyédrale A, de E telles que
q(A n U) = p(U) n A,. Une pièce de X est une partie localement polyédrale.
11.3.2. Soit A une partie fermée de X, et soit Fr(A) = A - A sa frontière. Un point
x E Fr(A) est dit régulier s'il existe un voisinage ouvert U de x tel que A n U soit une
pièce de la variété U (auquel cas x appartient au bord de A n U). On note aA l'ensemble des points réguliers de Fr(A) et on l'appelle le bord régulier (ou simplement
le bord) de A. L'ensemble A' = A u aA est une pièce de X, de bord ôA.
11.3.3. * Exemple. -Soit Û P un ensemble localement fini d'hyperplans d'un espace
a f h e réel E de dimension h i e n, et soit C une chambre de E relativement à i ? ? (LIE,
V, 5 1, no 3). L'adhérence C de C est une partie localement polyédrale de la variété E;
le bord régulier de est la réunion des faces de C (loc. cit., no 4). En particulier, si C
est un simplexe ouvert (loc. cit., no 6) de sommets a,, . . . , a,, le bord de C est la réunion
des C{*, (O < i < n), où C{i, est le simplexe ouvert de sommets a,, . . . , ai - l, ai + l, . . . , a,
dans l'espace affine engendré par ces sommets.,
11.3.4. Soit A une partie localement polyédrale de X, et soit w une forme différentielle
tordue de degré n - 1 sur X à valeurs dans un espace de Banach E; on suppose que w
est de classe C1 et que l'intersection de son support avec A est compacte. Alors, la
fonction caractéristique de A (resp. A', A) est essentiellement intégrable pour la
mesure vectorielle définie par dw sur X et l'on a
La forme différentielle wjôA (pour l'orientation canonique de l'injection canonique de
aA, considéré comme le bord de la pièce A', dans X) est intégrable dans i 3A et l'on a
Ldw = h
w
(u formule de Stokes )>).
Lorsque X est munie d'une orientation, et que l'on munit aA de l'orientation correspondante (1 1.2.1), cette formule est encore valable si w est une forme différentielle
usuelle de degré n - 1 à valeurs dans E, de classe C1 et telle que A n Supp w soit
compact.
71.4. Formule de Stokes relative (intégration sur les fibues)
Dans ce numéro, on désigne par X et S deux variétés (réelles) de classe Cr et par
v: X + S une submersion. On désigne par n un entier et on suppose que, pour tout
s E S, la fibre X, = v-l(s) de T en s (qui est une sous-variété de X (5.10.5)) est pure
de dimension n.
+B.