La fonction caractéristique de A est essentiellement intégrable pour la mesure vectorielle définie par d o sur X et la forme différentielle wlaA de degré n - 1 sur aA est
intégrable (10.4.3 et 10.4.4). On a
SA do = LA o
(G formule de Stokes r).
11.2.4. Soit a une forme différentielle tordue de degré n sur X à valeurs dans E, à
support compact, et de classe Cl. Pour qu'il existe une forme différentielle tordue w
de degré n - 1 sur X, à valeurs dans E, à support compact et de classe Cl, telle que
a = do, il est nécessaire que J, a = O; si X est connexe, cette condition est suffisante;
si de plus a est de classe Ck (k < r - 1, k # w), on peut choisir w de classe CL.
11.2.5. Supposons que X soit la variété réelle sous-jacente à C, que E soit un espace de
Banach complexe et que A soit une pièce compacte de X. Munissons X de l'orientation
définie par sa structure complexe (10.2.7). Soit f une application continue de A dans E
dont la restriction à l'intérieur A de A est holomorphe. Notons dz la différentielle
de l'injection z: aA 4 C. La forme f. dz, produit de f et de dz, est une forme différentielle de degré 1 sur aA, à valeurs dans E, de classe Co, et l'on a:
P
JaA
f. dz = O
(u formule de Cauchy )>).
Lorsque f se prolonge en une application holomorphe, notée encore f, d'un
voisinage ouvert U de A, à valeurs dans E, la forme différentielle f . dz (où z désigne
cette fois l'injection canonique de U dans C) est de classe Ca sur U et sa différentielle
extérieure est nulle.
11.2.6 (a Dérivée d'une intégrale ))). Supposons X orientée. Soit Y une variété de
classe Cr, et soit cc une forme différentielle de degré n sur Y, à valeurs dans E, de classe
Cl, et à support compact. Soit I un ouvert de R contenant O et soit g: 1 x X -t Y un
morphisme de classe Cr; pour t E 1, notons g, l'application x - g(t, x) de X dans Y.
Notons le morphisme de X dans TOI) défini par +(x) = T,,, ,(g)(l, 0); c'est un
relèvement de go (8.6.5). Supposons que la restriction de Prl: I x A -t 1 à l'intersection de 1 x A et du support de g*(a) soit propre (TG, 1, § 10). Pour tout t E 1,
l'intersection de A et du support de g?(a) est alors compacte; l'application t H SA gt(cc)
est de classe Cl sur 1 et sa dérivée à l'origine est donnée par la formule
cf. no 8.6.
11.3. Formule de Stokes pour les ensembles localement polyédraux
Dans ce no, X désigne une variété réelle pure de dimension finie n de classe
Cr (r 2 2); on suppose X séparée.
Le lecteur qui s'intéresse à des cas plus généraux pourra consulter H. WHITNEY, Geometric
Zntegration Theory, Chap. ILI, $ 18 (Princeton Univ. Press, 1957).
intégrable (10.4.3 et 10.4.4). On a
SA do = LA o
(G formule de Stokes r).
11.2.4. Soit a une forme différentielle tordue de degré n sur X à valeurs dans E, à
support compact, et de classe Cl. Pour qu'il existe une forme différentielle tordue w
de degré n - 1 sur X, à valeurs dans E, à support compact et de classe Cl, telle que
a = do, il est nécessaire que J, a = O; si X est connexe, cette condition est suffisante;
si de plus a est de classe Ck (k < r - 1, k # w), on peut choisir w de classe CL.
11.2.5. Supposons que X soit la variété réelle sous-jacente à C, que E soit un espace de
Banach complexe et que A soit une pièce compacte de X. Munissons X de l'orientation
définie par sa structure complexe (10.2.7). Soit f une application continue de A dans E
dont la restriction à l'intérieur A de A est holomorphe. Notons dz la différentielle
de l'injection z: aA 4 C. La forme f. dz, produit de f et de dz, est une forme différentielle de degré 1 sur aA, à valeurs dans E, de classe Co, et l'on a:
P
JaA
f. dz = O
(u formule de Cauchy )>).
Lorsque f se prolonge en une application holomorphe, notée encore f, d'un
voisinage ouvert U de A, à valeurs dans E, la forme différentielle f . dz (où z désigne
cette fois l'injection canonique de U dans C) est de classe Ca sur U et sa différentielle
extérieure est nulle.
11.2.6 (a Dérivée d'une intégrale ))). Supposons X orientée. Soit Y une variété de
classe Cr, et soit cc une forme différentielle de degré n sur Y, à valeurs dans E, de classe
Cl, et à support compact. Soit I un ouvert de R contenant O et soit g: 1 x X -t Y un
morphisme de classe Cr; pour t E 1, notons g, l'application x - g(t, x) de X dans Y.
Notons le morphisme de X dans TOI) défini par +(x) = T,,, ,(g)(l, 0); c'est un
relèvement de go (8.6.5). Supposons que la restriction de Prl: I x A -t 1 à l'intersection de 1 x A et du support de g*(a) soit propre (TG, 1, § 10). Pour tout t E 1,
l'intersection de A et du support de g?(a) est alors compacte; l'application t H SA gt(cc)
est de classe Cl sur 1 et sa dérivée à l'origine est donnée par la formule
cf. no 8.6.
11.3. Formule de Stokes pour les ensembles localement polyédraux
Dans ce no, X désigne une variété réelle pure de dimension finie n de classe
Cr (r 2 2); on suppose X séparée.
Le lecteur qui s'intéresse à des cas plus généraux pourra consulter H. WHITNEY, Geometric
Zntegration Theory, Chap. ILI, $ 18 (Princeton Univ. Press, 1957).