no 2
FORMULE DE STOKES
47
En particulier, soit h: X -+ R une fonction de classe Cr, et soit a ER; supposons
qu'il n'existe aucun x E X tel que h(x) = a et dJi = O. L'ensemble (x 1 h(x) < a} est
une pièce fermée de X de bord h-l(a).
d) Si r = CO et si X est localement compacte, tout compact de X admet un
système fondamental de voisinages formé de pièces compactes.
1 1.1.4. Soient X une variété de classe Cr et A une pièce de X. Soient a E ûA et v E Ta(X).
Soit c = (U, 9, E) une carte de X adaptée à A en a (1 1.1.2) et soit h = 8
; l(v) l'élément
de E correspondant à v (5.5.1). Soit Sc le demi-espace fermé de E dont p>(A n U) est un
ouvert (11.1.2). On dit que v est un vecteur rentrant (resp. strictement rentrant, resp.
sortant, resp. strictement sortant) pour A en a si h appartient à Sc (resp. so -Sc, - s,),
condition qui est indépendante du choix de la carte adaptée c. On note Ta(A) (resp.
T;(A)) l'ensemble des vecteurs sortants (resp. rentrants) de Ta(X) pour A. Ce sont
des demi-espaces fermés de Ta@), dont le bord contient O. On a
Ta(aA) = T,f(A) n T;(A).
11.2. Formule de Stokes pour les pièces
Dans ce no, on désigne par X une variété de classe Cr (r 2 2) pure de dimension finie
n et séparée. On désigne par A une pièce de X et par i l'injection canonique de ôA
dans X. On désigne par E un espace de Banach.
11.2.1. Soit x E aA et soit f une orientation de T,(ôA); on note iX(f) l'orientation de
T,(X) contenant les éléments v A u, où v est un vecteur strictement sortant pour A en
n-1
x (1 1.1.4) et où u est un élément non nul de A Tx(ôA) appartenant à l'orientation f.
L'application lx est une bijection de Or(T,(ôA)) sur Or(T,(X)). Les applications ; , pour
x E ûA, définissent un morphisme il: 6 -t X qui est une orientation de i (10.2.5). Si ,
$
est une orientation de X, l'orientation de ôA associée à f par 5 (10.2.5) est dite déjïnie
par f.
Exemple. - Lorsque X = Rn, que E est l'orientation usueile de Rn et que A est une
boule fermée de rayon > 0, l'orientation de la sphère ôA définie par f est l'orientation
canonique (10.2.8, b)).
11.2.2. Soit w une forme différentieHe tordue de degré p sur X à valeurs dans E
(10.4.1); l'image réciproque i*(w) de w par le morphisme orienté i: ôA -t X se note
wlûA et s'appelle la forme induite par w sur ôA (cf. 10.4.3).
11.2.3. Faisons l'une des deux hypothèses suivantes:
(i) w est une forme différentielle tordue de degré n - 1 sur X, à valeurs dans E;
(ii) X est orientée, ôA est munie de l'orientation correspondante (1 1.2.1) et w est
une forme différentielle de degré 12 - 1 sur X à valeurs dans E.
Supposons de plus que w soit de classe C l et que l'intersection de A et du support
de w soit compacte. La différentielle extérieure dw de w est continue (8.3.5 et 10.3.4).
FORMULE DE STOKES
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En particulier, soit h: X -+ R une fonction de classe Cr, et soit a ER; supposons
qu'il n'existe aucun x E X tel que h(x) = a et dJi = O. L'ensemble (x 1 h(x) < a} est
une pièce fermée de X de bord h-l(a).
d) Si r = CO et si X est localement compacte, tout compact de X admet un
système fondamental de voisinages formé de pièces compactes.
1 1.1.4. Soient X une variété de classe Cr et A une pièce de X. Soient a E ûA et v E Ta(X).
Soit c = (U, 9, E) une carte de X adaptée à A en a (1 1.1.2) et soit h = 8
; l(v) l'élément
de E correspondant à v (5.5.1). Soit Sc le demi-espace fermé de E dont p>(A n U) est un
ouvert (11.1.2). On dit que v est un vecteur rentrant (resp. strictement rentrant, resp.
sortant, resp. strictement sortant) pour A en a si h appartient à Sc (resp. so -Sc, - s,),
condition qui est indépendante du choix de la carte adaptée c. On note Ta(A) (resp.
T;(A)) l'ensemble des vecteurs sortants (resp. rentrants) de Ta(X) pour A. Ce sont
des demi-espaces fermés de Ta@), dont le bord contient O. On a
Ta(aA) = T,f(A) n T;(A).
11.2. Formule de Stokes pour les pièces
Dans ce no, on désigne par X une variété de classe Cr (r 2 2) pure de dimension finie
n et séparée. On désigne par A une pièce de X et par i l'injection canonique de ôA
dans X. On désigne par E un espace de Banach.
11.2.1. Soit x E aA et soit f une orientation de T,(ôA); on note iX(f) l'orientation de
T,(X) contenant les éléments v A u, où v est un vecteur strictement sortant pour A en
n-1
x (1 1.1.4) et où u est un élément non nul de A Tx(ôA) appartenant à l'orientation f.
L'application lx est une bijection de Or(T,(ôA)) sur Or(T,(X)). Les applications ; , pour
x E ûA, définissent un morphisme il: 6 -t X qui est une orientation de i (10.2.5). Si ,
$
est une orientation de X, l'orientation de ôA associée à f par 5 (10.2.5) est dite déjïnie
par f.
Exemple. - Lorsque X = Rn, que E est l'orientation usueile de Rn et que A est une
boule fermée de rayon > 0, l'orientation de la sphère ôA définie par f est l'orientation
canonique (10.2.8, b)).
11.2.2. Soit w une forme différentieHe tordue de degré p sur X à valeurs dans E
(10.4.1); l'image réciproque i*(w) de w par le morphisme orienté i: ôA -t X se note
wlûA et s'appelle la forme induite par w sur ôA (cf. 10.4.3).
11.2.3. Faisons l'une des deux hypothèses suivantes:
(i) w est une forme différentielle tordue de degré n - 1 sur X, à valeurs dans E;
(ii) X est orientée, ôA est munie de l'orientation correspondante (1 1.2.1) et w est
une forme différentielle de degré 12 - 1 sur X à valeurs dans E.
Supposons de plus que w soit de classe C l et que l'intersection de A et du support
de w soit compacte. La différentielle extérieure dw de w est continue (8.3.5 et 10.3.4).