5 11. Formule de Stokes
Dans ce paragraphe, on suppose K = R.
11.1. Pièces
11.1.1. Soit E un espace de Banach. Une partie S de E est appelée un demi-espace
fermé s'il existe une forme linéaire continue h f O et un nombre réel k tels que
S = (xlh(x) < k) (cf. EVT, II, 5 2, no 6); la frontière de S est alors l'hyperplan fermé
(xlh(x) = k); on l'appelle également le bord de S, et on le note as.
11.1.2. Soient X une variété de classe Cr et A une partie de X. On dit que A est une
pièce de X si, pour tout a E A, il existe une carte c = (U, p, E) de X en a telle que
y(A n U) soit un ouvert d'un demi-espace fermé de E. On pose ôA = A - A (ensemble des points non intérieurs de A). C'est une sous-variété de A, que l'on appelle
le bord de A.' l) Si a G aA, il existe une carte c = (U, p, E) de X centrée en a et un
hyperplan fermé H de E tels que p,(A n U) soit un voisinage ouvert de O dans un des
demi-espaces fermés Sc de E définis par H (EVT, II, 8 2, no 6), et que p(aA n U) =
H n v(A n U). Une telle carte est dite adaptée à A en a. Le demi-espace fermé Sc est
alors l'unique demi-espace fermé de E dont 9(A n U) soit un ouvert.
Pour qu'une partie fermée A de X soit une pièce de X, il faut et il suffit que A soit
dense dans A et que A - A soit une sous-variété de X de codimension 1 en chacun de
ses points.
1 1.1.3. Exemples
a) Dans Rn, une boule fermée de rayon > O est une pièce; son bord est la sphère
correspondante.
b) Si A est une pièce de la variété X et si B est une partie fermée de aA, alors
A - B est une pièce de X.
c) Soit p: X -t X' un morphisme de variétés de classe Cr, et soit A' une pièce de
X'. Si p, est transversal à aA' (5.11.6), p-l(A') est une pièce de X dont le bord est
v-l(aA').
' Cette terminologie provient de ce que A est naturellement muni d'une structure de ti variété à
bord n, de bord ôA. Pour la définition de cette catégorie, ainsi que pour celle, plus générale, de la
catégorie des e variétés à bord anguleux O, le lecteur pourra se reporter à H. CARTAN, Séminaire
1961162, Topologie Diférentielle, exposés 1-2-3 (par A. DOUADY), Benjamin, New York, 1969.
Signalons qu'on peut montrer que toute ti variété à bord )) dont le bord est paracompact est isomorphe à une pièce fermée d'une variété.
Dans ce paragraphe, on suppose K = R.
11.1. Pièces
11.1.1. Soit E un espace de Banach. Une partie S de E est appelée un demi-espace
fermé s'il existe une forme linéaire continue h f O et un nombre réel k tels que
S = (xlh(x) < k) (cf. EVT, II, 5 2, no 6); la frontière de S est alors l'hyperplan fermé
(xlh(x) = k); on l'appelle également le bord de S, et on le note as.
11.1.2. Soient X une variété de classe Cr et A une partie de X. On dit que A est une
pièce de X si, pour tout a E A, il existe une carte c = (U, p, E) de X en a telle que
y(A n U) soit un ouvert d'un demi-espace fermé de E. On pose ôA = A - A (ensemble des points non intérieurs de A). C'est une sous-variété de A, que l'on appelle
le bord de A.' l) Si a G aA, il existe une carte c = (U, p, E) de X centrée en a et un
hyperplan fermé H de E tels que p,(A n U) soit un voisinage ouvert de O dans un des
demi-espaces fermés Sc de E définis par H (EVT, II, 8 2, no 6), et que p(aA n U) =
H n v(A n U). Une telle carte est dite adaptée à A en a. Le demi-espace fermé Sc est
alors l'unique demi-espace fermé de E dont 9(A n U) soit un ouvert.
Pour qu'une partie fermée A de X soit une pièce de X, il faut et il suffit que A soit
dense dans A et que A - A soit une sous-variété de X de codimension 1 en chacun de
ses points.
1 1.1.3. Exemples
a) Dans Rn, une boule fermée de rayon > O est une pièce; son bord est la sphère
correspondante.
b) Si A est une pièce de la variété X et si B est une partie fermée de aA, alors
A - B est une pièce de X.
c) Soit p: X -t X' un morphisme de variétés de classe Cr, et soit A' une pièce de
X'. Si p, est transversal à aA' (5.11.6), p-l(A') est une pièce de X dont le bord est
v-l(aA').
' Cette terminologie provient de ce que A est naturellement muni d'une structure de ti variété à
bord n, de bord ôA. Pour la définition de cette catégorie, ainsi que pour celle, plus générale, de la
catégorie des e variétés à bord anguleux O, le lecteur pourra se reporter à H. CARTAN, Séminaire
1961162, Topologie Diférentielle, exposés 1-2-3 (par A. DOUADY), Benjamin, New York, 1969.
Signalons qu'on peut montrer que toute ti variété à bord )) dont le bord est paracompact est isomorphe à une pièce fermée d'une variété.