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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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vectoriel 4, de classe Cm. Si E, et El sont deux fibrés vectoriels de base X, on note
Pm(El ; E,) le fibré vectoriel déduit de (E,, El) par 7, (7.6.2).
12.6.8. Reprenons les notations et hypothèses de 12.6.1. 11 existe un morphisme de
fibrés vectoriels
L: Pk(T(X); E) -t PL@)
(cf. 12.6.6),
et un seul tel que, quelles que soient la carte vectorielle c, = (U, p, F,) de E et la
carte cl = (U, +, FI) de X, le diagramme suivant soit commutatif:
o i ~
: 1) LIU est la restriction de L à Pk(T(X), E)IU;
2) 6 est la bijection définie en 12.6.1 ;
3) i est l'application (u, p) H (u, O, . . . ,O, p);
4) 7 est déduite, au moyen du foncteur vectoriel T,, de la carte vectorielle ci de
T(X) (cf. 8.1.1) et de la carte vectorielle c, de E.
Le morphisme L est un isomorphisme de Pk(T(X); E) sur le sous-fibré vectoriel
Nkr k-l(E) de Pk(E) (cf. 12.6.6); Ia suite
est une suite exacte localement directe de fibrés vectoriels.
Plus généralement, posons No = Pk(E), N, = Nksm-I(E) pour rn 2 1, de sorte
que les N, forment une suite décroissante de sous-fibrés vectoriels de Pk(E):
Pour O < m < k, la projection rk,": Pk(E) +Pm(E) définit un isomorphisme de
Nm/Nm+, sur Nm* ,-l(E) ; vu ce qui précède, on obtient ainsi des isomorphismes
tm : Nm/Nm+ 1 -t Pm@@); E)
( O < m 6 k).
On a en particulier No/Nl = E et NJN, = B ( T 0 ; E). Pour k = 1, cela donne une
suite exacte:
O -+ 8(T(X); E) -t P1(E) + E -+ 0.
12.7. AApaibZissement de structure
On suppose K = R. Soit r' E NK avec k < r' < r et soient X' et Y' les variétés de
classe Cr' obtenues à partir de X et Y par affaiblissement de structure (5.13.1). Soient
x E X et j E JX(X, Y); soient U une partie ouverte de X contenant x et f une application
de classe CL de U dans Y, telles que jXCf) = j. Considérons f comme un germe de mor-