10.4.1. Soit X une variété de classe Cr. On peut appliquer les définitions et résultats de
10.3 en prenant pour fibré vectoriel M le jbré tangent T(X). On a alors Or, = it
(10.2.4); on note Rx et on appelle simplementfibré des scalaires tordus le fibré Ï i , , , ,
(10.3.1)
une forme différentielle T(X)-tordue à valeurs dans un fibré vectoriel F
est appelée simplement une forme dzgérentielle tordue (ou impaire) à valeurs dans F.
Lorsque X est muni d'une orientation, l'application w H 8 @ w permet d'identifier les
formes différentielles usuelles (parfois appelées ((paires ))) aux formes tordues.
10.4.2. Soit f: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr et soit 3 ).-+ une
orientation de f (10.2.5). 11 existe un isomorphisme j et un seul de f *(a,) sur & tel
que X = j(T(z),f(z)) pour tout X EX. On identifie ces deux fibrés grâce à j. Si w
est une forme tordue de degrép sur Y à valeurs dans un fibré vectoriel F, l'image réciproque f *(w) s'identifie à une forme différentielle tordue de degrép sur X à valeurs dans
rV
f *(FI. Si l'on note cz (resp. f *(w)) la forme différentielle sur Y (resp. X) correspondant
-
à w (resp. f *(w)) comme en 10.3.3, on aP(c3) = f *(a).
Lorsque F est le fibré trivial défini par un espace de Banach, l'opération f * commute à la différentiation extérieure (10.3.4).
10.4.3. Soit X une variété pure de dimension n, et soit w une forme différentielle
tordue de degré n sur X, à valeurs dans un espace de Banach E. Soit c = (U, v, Rn)
une carte de X et soit tn l'orientation canonique de Rn; notons ul, . . . , un les fonctions
coordonnées sur Rn. Il existe une fonction f, et une seule sur g>(U), à valeurs dans E,
telle que
wIU = g>*(p @&.du1 . - dun).
On dit que w est localement intégrable si, pour toute carte c = (U, v, Rn) de X,
la fonction f, correspondante est localement intégrable par rapport à ArU, (où
h désigne la mesure de Lebesgue sur R). Supposons que ce soit le cas et que X soit
séparée. Il existe sur X une mesure vectorielle a(w) à valeurs dans E et une seule
possédant la propriété suivante: pour toute carte c = (U, 9, Rn) de X, l'image par g,
de la restriction à U de la mesure a(w) est la mesuref, . A " , ONT, VI, 5 2, no 4). On dit
que a(w) est la mesure déjnie par w et on la note le plus souvent simplement W. Le
support de a(w) est contenu dans le support Supp w de w (en appelant support d'une
forme différentielle w l'adhérence de l'ensemble des x E X tels que w(x) # 0).
Si f est une fonction réelle sur X, localement intégrable pour la mesure a(w),
alors la forme différentielle fw est localement intégrable et l'on a aCfw) = f. a(w).
Si g est une fonction réelle sur X essentiellement intégrable pour a(w), son intégrale
se note généralement j , go, ou Igw, ou Ig(x)w(x); on évite de la noter jg dm, à cause
des risques de confusion avec la différentielle extérieure dw de w, qui est définie (et
d'ailleurs égale à O) si w est de classe Cl. Si A est une partie de X dont la fonction
caractéristique cp, , est essentiellement intégrable pour a(w), l'intégrale de 9, se note
On prendra garde que cette notation est contradictoire avec la notation & lorsque l'on considère
X comme munie de sa structure de fibré vectoriel de rang O sur elle-même.
10.3 en prenant pour fibré vectoriel M le jbré tangent T(X). On a alors Or, = it
(10.2.4); on note Rx et on appelle simplementfibré des scalaires tordus le fibré Ï i , , , ,
(10.3.1)
une forme différentielle T(X)-tordue à valeurs dans un fibré vectoriel F
est appelée simplement une forme dzgérentielle tordue (ou impaire) à valeurs dans F.
Lorsque X est muni d'une orientation, l'application w H 8 @ w permet d'identifier les
formes différentielles usuelles (parfois appelées ((paires ))) aux formes tordues.
10.4.2. Soit f: X -t Y un morphisme de variétés de classe Cr et soit 3 ).-+ une
orientation de f (10.2.5). 11 existe un isomorphisme j et un seul de f *(a,) sur & tel
que X = j(T(z),f(z)) pour tout X EX. On identifie ces deux fibrés grâce à j. Si w
est une forme tordue de degrép sur Y à valeurs dans un fibré vectoriel F, l'image réciproque f *(w) s'identifie à une forme différentielle tordue de degrép sur X à valeurs dans
rV
f *(FI. Si l'on note cz (resp. f *(w)) la forme différentielle sur Y (resp. X) correspondant
-
à w (resp. f *(w)) comme en 10.3.3, on aP(c3) = f *(a).
Lorsque F est le fibré trivial défini par un espace de Banach, l'opération f * commute à la différentiation extérieure (10.3.4).
10.4.3. Soit X une variété pure de dimension n, et soit w une forme différentielle
tordue de degré n sur X, à valeurs dans un espace de Banach E. Soit c = (U, v, Rn)
une carte de X et soit tn l'orientation canonique de Rn; notons ul, . . . , un les fonctions
coordonnées sur Rn. Il existe une fonction f, et une seule sur g>(U), à valeurs dans E,
telle que
wIU = g>*(p @&.du1 . - dun).
On dit que w est localement intégrable si, pour toute carte c = (U, v, Rn) de X,
la fonction f, correspondante est localement intégrable par rapport à ArU, (où
h désigne la mesure de Lebesgue sur R). Supposons que ce soit le cas et que X soit
séparée. Il existe sur X une mesure vectorielle a(w) à valeurs dans E et une seule
possédant la propriété suivante: pour toute carte c = (U, 9, Rn) de X, l'image par g,
de la restriction à U de la mesure a(w) est la mesuref, . A " , ONT, VI, 5 2, no 4). On dit
que a(w) est la mesure déjnie par w et on la note le plus souvent simplement W. Le
support de a(w) est contenu dans le support Supp w de w (en appelant support d'une
forme différentielle w l'adhérence de l'ensemble des x E X tels que w(x) # 0).
Si f est une fonction réelle sur X, localement intégrable pour la mesure a(w),
alors la forme différentielle fw est localement intégrable et l'on a aCfw) = f. a(w).
Si g est une fonction réelle sur X essentiellement intégrable pour a(w), son intégrale
se note généralement j , go, ou Igw, ou Ig(x)w(x); on évite de la noter jg dm, à cause
des risques de confusion avec la différentielle extérieure dw de w, qui est définie (et
d'ailleurs égale à O) si w est de classe Cl. Si A est une partie de X dont la fonction
caractéristique cp, , est essentiellement intégrable pour a(w), l'intégrale de 9, se note
On prendra garde que cette notation est contradictoire avec la notation & lorsque l'on considère
X comme munie de sa structure de fibré vectoriel de rang O sur elle-même.