où p désigne la projection canonique de R, sur X, p l'application repère (6.5.1) de
RM et où y([) = p(f, 1) pour S E Or,. En particulier, l'image réciproque du fibré RM
par ?r s'identifie au fibré trivial Or, x R. On identifie également un élément 8 de Or,
à son image dans RM par 9 ; avec cette convention, on a p(5, a) = af pour tout
(l, a) E Or, x R; on a a5 = bq si et seulement s'il existe e E ( f 11 tel que b = ea et
9 = ef. Une orientation f de M définit ainsi une section x I+ f(x) de &.
Il existe un isomorphisme j et un seul de fiM ég R, sur le fibré trivial Rx = X x R tel
que j(f @ f) = ( ~ ( 5 ) ~
1) pour tout 5 E OrM; cela permet d'identifier le fibré vectoriel
RM à son dual.
10.3.3. Soit de plus F un fibré vectoriel de base X et de classe C'-l. Une forme différentielle sur X à valeurs dans fiM @ F est appelée une forme dzjërentielle M-tordue à
valeurs dans F. Une telle forme de degrép est une section du fibré AltP(T(X); aM @ F),
qu'on identifie de façon évidente à RM @ AltP(T(X); F). Lorsque F est le fibré trivial
défini par un espace de Banach E, on parle simplement de forme M-tordue à valeurs
dans E; lorsque E = C (resp. R), on dit forme M-tordue complexe (resp. forme
M-tordue réelle, ou forme M-tordue).
Soit u une forme M-tordue de degré p à valeurs dans F. Le fait que T: Or, -t X
soit étale et que **(Rd = Or, x R permet d'identifier rr*(R, @ Altp(T(X); F) à
Altp(T(OrM); n*(F)) et w définit une section & de AkP(T(OrM); r*(F)) (7.4.3), autrement dit, une forme différentielle de degré p sur Or, à valeurs dans T*(F). On obtient
ainsi une bijection de l'espace des formes M-tordues de degrép sur X à valeurs dans F,
sur l'espace des formes üj de degré p sur Or, à valeurs dans T*(F) telles que
&(- .f) = - w(5) pour tout f E OrM.
Lorsque M est muni d'une orientation f, l'application w n f @ w permet d'identifier les sections de AltP(T(X); F) (autrement dit les formes différentielles de degré p
usuelles) aux formes M-tordues de degré p à valeurs dans F.
10.3.4. Soit w une forme différentielle M-tordue de degré p sur X, à valeurs dans un
espace de Banach E, et de classe Cs (1 < s < inf(k, r - 1)). Il existe une forme
différentielle M-tordue dw, de degré p + 1 sur X, à valeurs dans E, et une seule telle
que, quels que soient l'ouvert U de X, l'orientation S de MIU et la forme différentielle
a sur U tels que wlU = 5 @ a, on ait dw lU = f @ da. La forme dw est de classe
Cel; on l'appelle la dzj%rentielle extérieure de m.
Si Son note 6 (resp. d%) la forme différentielle sur Or, correspondant à w (resp. à
-
dw) comme en 10.3.3, on a d(&) = du.
Si 5 est un champ de vecteurs de classe C%ur X, on définit de manière analogue la
forme M-tordue O,. w. On a
û,.w = d(i(5)w) + i(l;)dw
et û,.w est de classe Cs-l.
10.4. Mesure associée à une forme dz~érentielle tordue
Rappelons que, dans ce numéro, on suppose K = R et que toutes les variétés considérées sont localement de dimension finie.
RM et où y([) = p(f, 1) pour S E Or,. En particulier, l'image réciproque du fibré RM
par ?r s'identifie au fibré trivial Or, x R. On identifie également un élément 8 de Or,
à son image dans RM par 9 ; avec cette convention, on a p(5, a) = af pour tout
(l, a) E Or, x R; on a a5 = bq si et seulement s'il existe e E ( f 11 tel que b = ea et
9 = ef. Une orientation f de M définit ainsi une section x I+ f(x) de &.
Il existe un isomorphisme j et un seul de fiM ég R, sur le fibré trivial Rx = X x R tel
que j(f @ f) = ( ~ ( 5 ) ~
1) pour tout 5 E OrM; cela permet d'identifier le fibré vectoriel
RM à son dual.
10.3.3. Soit de plus F un fibré vectoriel de base X et de classe C'-l. Une forme différentielle sur X à valeurs dans fiM @ F est appelée une forme dzjërentielle M-tordue à
valeurs dans F. Une telle forme de degrép est une section du fibré AltP(T(X); aM @ F),
qu'on identifie de façon évidente à RM @ AltP(T(X); F). Lorsque F est le fibré trivial
défini par un espace de Banach E, on parle simplement de forme M-tordue à valeurs
dans E; lorsque E = C (resp. R), on dit forme M-tordue complexe (resp. forme
M-tordue réelle, ou forme M-tordue).
Soit u une forme M-tordue de degré p à valeurs dans F. Le fait que T: Or, -t X
soit étale et que **(Rd = Or, x R permet d'identifier rr*(R, @ Altp(T(X); F) à
Altp(T(OrM); n*(F)) et w définit une section & de AkP(T(OrM); r*(F)) (7.4.3), autrement dit, une forme différentielle de degré p sur Or, à valeurs dans T*(F). On obtient
ainsi une bijection de l'espace des formes M-tordues de degrép sur X à valeurs dans F,
sur l'espace des formes üj de degré p sur Or, à valeurs dans T*(F) telles que
&(- .f) = - w(5) pour tout f E OrM.
Lorsque M est muni d'une orientation f, l'application w n f @ w permet d'identifier les sections de AltP(T(X); F) (autrement dit les formes différentielles de degré p
usuelles) aux formes M-tordues de degré p à valeurs dans F.
10.3.4. Soit w une forme différentielle M-tordue de degré p sur X, à valeurs dans un
espace de Banach E, et de classe Cs (1 < s < inf(k, r - 1)). Il existe une forme
différentielle M-tordue dw, de degré p + 1 sur X, à valeurs dans E, et une seule telle
que, quels que soient l'ouvert U de X, l'orientation S de MIU et la forme différentielle
a sur U tels que wlU = 5 @ a, on ait dw lU = f @ da. La forme dw est de classe
Cel; on l'appelle la dzj%rentielle extérieure de m.
Si Son note 6 (resp. d%) la forme différentielle sur Or, correspondant à w (resp. à
-
dw) comme en 10.3.3, on a d(&) = du.
Si 5 est un champ de vecteurs de classe C%ur X, on définit de manière analogue la
forme M-tordue O,. w. On a
û,.w = d(i(5)w) + i(l;)dw
et û,.w est de classe Cs-l.
10.4. Mesure associée à une forme dz~érentielle tordue
Rappelons que, dans ce numéro, on suppose K = R et que toutes les variétés considérées sont localement de dimension finie.