Soit X une variété réelle localement de dimension finie, munie d'une structure
presque complexe (8.8.3). Pour tout x E X, soit S(x) l'orientation de T,@) définie par
sa structure complexe. L'application x * ((x) est une orientation de X, dite d é h i e par
la structure presque complexe. En particulier, nous munirons la variété analytique réelle
X sous-jacente à une variété analytique complexe Xe, localement de dimension finie,
de l'orientation définie par la structure presque complexe associée (8.8.6). Si l'on
remplace la structure de variété analytique complexe donnée sur X par sa conjuguée
(5.4.12.b)), cette orientation est multipliée par la fonction x ++ (- l)dimxxc.
10.2.8. Exemples
a) Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. La variété analytique réelle
définie par E (5.2.2) est orientable. Plus précisément, l'application S ++ ((O) est une
bijection de l'ensemble des orientations de cette variété sur Or(E).
En particulier, la variété Rn a une orientation canonique S" définie par la demidroite R+e, A - . - A en de Or(R").
b) Soit X une sphère de centre O et de rayon > O dans Rn; c'est une sous-variété
de Rn. Pour tout x E X, l'espace T,(R") = Rn est somme directe de la droite Rx et de
l'hyperplan T,(X). Soit 77, l'orientation R + x de Rx (<< normale extérieure n) et soit
f x l'unique orientation de T,(X) telle que le produit de 7, et S, soit l'orientation $ de
Rn. L'application x ++ 5, est une orientation de X, dite canonique.
c) Soit X une variété connexe, et soit G un groupe discret opérant proprement
et librement sur X. Pour que X/G soit orientable, il faut et il suffit que X soit orientable et que l'action de G sur l'ensemble des orientations de X soit triviale.
d ) L'espace projectif réel Pn- ,(R) s'identifie au quotient de la sphère Sn -, par
le groupe ( f 1) opérant par x ++ 5 x; il est orientable si n est pair, et non orientable si
n est impair.
e) Tout quotient d'un groupe de Lie par un sous-groupe de Lie connexe est orientable.
10.3. Formes d@érentielles M-tordues
10.3.1. Soit X une variété réelle de classe Cr, et soit M un fibré vectoriel de base X, de
rang fini et de classe CL, avec O < k < r. Soit AM = (Or,, ( 5 11, X, T) la fibration
principale associée à la variété des orientations de M (10.2.2). Faisons opérer le groupe
structural { k 1) sur R par multiplication. On note R, l'espace fibré associé à AM de
fibre type R (muni de la loi d'opération définie ci-dessus) (6.5.1); il est muni (7.10.2)
d'une structure de fibré vectoriel de base X, de rang 1 et de classe Ck; on l'appellefibré
des scalaires M-tordus.
10.3.2. On a un diagramme commutatif:
Or, X R 2 RM
Or, - X
presque complexe (8.8.3). Pour tout x E X, soit S(x) l'orientation de T,@) définie par
sa structure complexe. L'application x * ((x) est une orientation de X, dite d é h i e par
la structure presque complexe. En particulier, nous munirons la variété analytique réelle
X sous-jacente à une variété analytique complexe Xe, localement de dimension finie,
de l'orientation définie par la structure presque complexe associée (8.8.6). Si l'on
remplace la structure de variété analytique complexe donnée sur X par sa conjuguée
(5.4.12.b)), cette orientation est multipliée par la fonction x ++ (- l)dimxxc.
10.2.8. Exemples
a) Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. La variété analytique réelle
définie par E (5.2.2) est orientable. Plus précisément, l'application S ++ ((O) est une
bijection de l'ensemble des orientations de cette variété sur Or(E).
En particulier, la variété Rn a une orientation canonique S" définie par la demidroite R+e, A - . - A en de Or(R").
b) Soit X une sphère de centre O et de rayon > O dans Rn; c'est une sous-variété
de Rn. Pour tout x E X, l'espace T,(R") = Rn est somme directe de la droite Rx et de
l'hyperplan T,(X). Soit 77, l'orientation R + x de Rx (<< normale extérieure n) et soit
f x l'unique orientation de T,(X) telle que le produit de 7, et S, soit l'orientation $ de
Rn. L'application x ++ 5, est une orientation de X, dite canonique.
c) Soit X une variété connexe, et soit G un groupe discret opérant proprement
et librement sur X. Pour que X/G soit orientable, il faut et il suffit que X soit orientable et que l'action de G sur l'ensemble des orientations de X soit triviale.
d ) L'espace projectif réel Pn- ,(R) s'identifie au quotient de la sphère Sn -, par
le groupe ( f 1) opérant par x ++ 5 x; il est orientable si n est pair, et non orientable si
n est impair.
e) Tout quotient d'un groupe de Lie par un sous-groupe de Lie connexe est orientable.
10.3. Formes d@érentielles M-tordues
10.3.1. Soit X une variété réelle de classe Cr, et soit M un fibré vectoriel de base X, de
rang fini et de classe CL, avec O < k < r. Soit AM = (Or,, ( 5 11, X, T) la fibration
principale associée à la variété des orientations de M (10.2.2). Faisons opérer le groupe
structural { k 1) sur R par multiplication. On note R, l'espace fibré associé à AM de
fibre type R (muni de la loi d'opération définie ci-dessus) (6.5.1); il est muni (7.10.2)
d'une structure de fibré vectoriel de base X, de rang 1 et de classe Ck; on l'appellefibré
des scalaires M-tordus.
10.3.2. On a un diagramme commutatif:
Or, X R 2 RM
Or, - X