~ i f e s t une orientation de f et si 17 est une orientation de Y, il existe une orientation
f et une seule de X telle que le diagramme
1 f I
X - Y
soit commutatif. On dit que f est associée à r] parS.
Exemples
a) Si Y est réduite à un point, une orientation de f équivaut à une orientation de
X.
b) Supposons f étale. Pour tout x E X, l'application T,. est un isomorphisme
de Tx(X) sur Tfo(Y), et définit (par transport de structure) une bijection
La famille des & définit une orientation 3 f': + de f, dite canonique.
c) Plus généralement, supposons que f soit une submersion, et soit cc une orientation du fibré T@/Y) (8.1.3). Soient x é X et 5 une orientation de T,-). Posons
y = f(x); on a une suite exacte (8.1.3)
et il existe donc une orientation A(5) de T,(Y) et une seule telle que f = L([)a(x)
(10.2.1). L'application A: X-+P est une orientation de f, dite associée à a.
L'application cc HL est une bijection de l'ensemble des orientations de T(X/Y) sur
l'ensemble des orientations de$
d ) Si f : X + Y est une immersion, les orientations de f correspondent aux
orientations du fibré normal à$
10.2.6 (<( Orientation d'un produit )>). Soient X, (resp. X,) une variété localement de
dimension finie et 6, (resp. f,) une orientation de XI (resp. X,). Soit X = X, x X,.
L'application (x,, x,) H ~l(x1)52(x2) (10.2.1) est une orientation de X, x X,, appelée
produit des orientations f, et f2, et notée flf2, OU f1 @ 5,.
Supposons que Xi (i = 1,2) soit pure de dimension s. L'isomorphisme canonique
XI x X, + X, x XI transforme 5, @ f2 en f2 @ f1 (resp. en - 5, @ 5;) si l'un des
ni est pair (resp. si n, et n, sont impairs).
10.2.7 (<ç Cas complexe »). Soit F un espace vectoriel complexe de dimension h i e et
soit FR i'espace vectoriel réel sous-jacent. Soit {el, . . . , e,) une base de F; alors
{el, ie,, e,, ie,, . . ., e,, ie,} est une base de FR et l'orientation de FR définie par le
2m-vecteur
el A ie, A e, A ie, A - A em A iem
est indépendante du choix de la base {el, . - . , e, } de F; on dit que c'est l'orientation de FR
dé$nie par la structure complexe donnée. Si F est somme directe de deux sous-espaces
G et H, l'orientation de FR = GR O HE est le produit des orientations de GR et HIR.
f et une seule de X telle que le diagramme
1 f I
X - Y
soit commutatif. On dit que f est associée à r] parS.
Exemples
a) Si Y est réduite à un point, une orientation de f équivaut à une orientation de
X.
b) Supposons f étale. Pour tout x E X, l'application T,. est un isomorphisme
de Tx(X) sur Tfo(Y), et définit (par transport de structure) une bijection
La famille des & définit une orientation 3 f': + de f, dite canonique.
c) Plus généralement, supposons que f soit une submersion, et soit cc une orientation du fibré T@/Y) (8.1.3). Soient x é X et 5 une orientation de T,-). Posons
y = f(x); on a une suite exacte (8.1.3)
et il existe donc une orientation A(5) de T,(Y) et une seule telle que f = L([)a(x)
(10.2.1). L'application A: X-+P est une orientation de f, dite associée à a.
L'application cc HL est une bijection de l'ensemble des orientations de T(X/Y) sur
l'ensemble des orientations de$
d ) Si f : X + Y est une immersion, les orientations de f correspondent aux
orientations du fibré normal à$
10.2.6 (<( Orientation d'un produit )>). Soient X, (resp. X,) une variété localement de
dimension finie et 6, (resp. f,) une orientation de XI (resp. X,). Soit X = X, x X,.
L'application (x,, x,) H ~l(x1)52(x2) (10.2.1) est une orientation de X, x X,, appelée
produit des orientations f, et f2, et notée flf2, OU f1 @ 5,.
Supposons que Xi (i = 1,2) soit pure de dimension s. L'isomorphisme canonique
XI x X, + X, x XI transforme 5, @ f2 en f2 @ f1 (resp. en - 5, @ 5;) si l'un des
ni est pair (resp. si n, et n, sont impairs).
10.2.7 (<ç Cas complexe »). Soit F un espace vectoriel complexe de dimension h i e et
soit FR i'espace vectoriel réel sous-jacent. Soit {el, . . . , e,) une base de F; alors
{el, ie,, e,, ie,, . . ., e,, ie,} est une base de FR et l'orientation de FR définie par le
2m-vecteur
el A ie, A e, A ie, A - A em A iem
est indépendante du choix de la base {el, . - . , e, } de F; on dit que c'est l'orientation de FR
dé$nie par la structure complexe donnée. Si F est somme directe de deux sous-espaces
G et H, l'orientation de FR = GR O HE est le produit des orientations de GR et HIR.