(7.1.6). Soit Or, l'ensemble somme des Or(Mb), pour b E B, et soit P: Or,+B
l'application telle que ?r(Or(M,)) = (b). Il existe sur OrM une structure d'espace topologique et une seule telle que:
a) P soit continue.
b) Si s est une section continue et partout non nulle de det(M) sur un ouvert U de
B, et si ((~(b)) est l'orientation de Mb définie par l'clément s(b) de det(Mb), l'appfication b - f(s(b)) de U dans OrM est continue.
L'espace OrM s'appelle Z' espace des orientations de M. Le groupe (+ 1) opère sur
Or, par f H + f (10.2.1). Le quadruplet (OrM, (+ l), B, P) est unejïbrationprincipale
(6.2.1) de base B et de groupe structural (2 1); la projection P: Or, + B définit un
isomorphisme de OrM/{& 1) SUI. B, cf. no 6.2.
Lorsque B est muni d'une structure de variété, on munit OrM de la structure de
variété image inverse de celle de B par P (5.8.1); la fibration définie ci-dessus est alors
une fibration de variétés et le morphisme P est étale.
10.2.3. Conservons les hypothèses de 10.2.2. On appelle orientation du fibré vectoriel
M une section continue f : B -+ Or, de la projection P: OrM 3 B. On dit que M est
orientable s'il possède une orientation; il revient au même de dire que le fibré Or, est
trivialisable, Le. isomorphe à B x ( 5 1). Si B est connexe non vide, tout fibré vectoriel
orientable de base B possède deux orientations, opposées l'une de l'autre.
Lorsque M est réduit à O, le fibré det(M) est le fibré trivial RB et OrM s'identifie à
Or&) x B; le fibré M possède une orientation canonique, correspondant à la demidroite positive de R.
10.2.4 (< Orientation d'une variété B ) . Soit X une variété localement de dimension fkie
sur R de classe Cr, et soit T(X) son fibré tangent. On note la variété Or,, ; le groupe
( & 1) opère proprement et librement sur z et X/(+ 1) s'identifie à X; les fibres de la
projection P: X -+ X sont les ensembles Or(T,(X)), pour x E X. On appelle orientation
de X une orientation du fibré T(X), autrement dit une section continue du fibré Z; une
telle section est de classe Cr. On dit que X est orientable si elle possède une orientation.
Toute variété de dimension zéro est orientable et possède une orientation canonique
(10.2.3).
Soit ( E z et soit x = ~ ( f )
son image dans X; l'application T,(T): %@) 3 T,@)
est un isomorphisme; eiie permet d'identifier f à un élément g de Or(T,(X)). L'application f H { est une orientation de X, dite canonique; en particulier, X est orientable.
10.2.5 ( dimension finie et soit8 X -t Y un morphisme de variétés. On appelle orientation de
f u n morphisme8 ' : 3 7 rendant commutatif le diagramme
i
ji:-7
et compatible avec l'action du groupe (+. 1).
l'application telle que ?r(Or(M,)) = (b). Il existe sur OrM une structure d'espace topologique et une seule telle que:
a) P soit continue.
b) Si s est une section continue et partout non nulle de det(M) sur un ouvert U de
B, et si ((~(b)) est l'orientation de Mb définie par l'clément s(b) de det(Mb), l'appfication b - f(s(b)) de U dans OrM est continue.
L'espace OrM s'appelle Z' espace des orientations de M. Le groupe (+ 1) opère sur
Or, par f H + f (10.2.1). Le quadruplet (OrM, (+ l), B, P) est unejïbrationprincipale
(6.2.1) de base B et de groupe structural (2 1); la projection P: Or, + B définit un
isomorphisme de OrM/{& 1) SUI. B, cf. no 6.2.
Lorsque B est muni d'une structure de variété, on munit OrM de la structure de
variété image inverse de celle de B par P (5.8.1); la fibration définie ci-dessus est alors
une fibration de variétés et le morphisme P est étale.
10.2.3. Conservons les hypothèses de 10.2.2. On appelle orientation du fibré vectoriel
M une section continue f : B -+ Or, de la projection P: OrM 3 B. On dit que M est
orientable s'il possède une orientation; il revient au même de dire que le fibré Or, est
trivialisable, Le. isomorphe à B x ( 5 1). Si B est connexe non vide, tout fibré vectoriel
orientable de base B possède deux orientations, opposées l'une de l'autre.
Lorsque M est réduit à O, le fibré det(M) est le fibré trivial RB et OrM s'identifie à
Or&) x B; le fibré M possède une orientation canonique, correspondant à la demidroite positive de R.
10.2.4 (< Orientation d'une variété B ) . Soit X une variété localement de dimension fkie
sur R de classe Cr, et soit T(X) son fibré tangent. On note la variété Or,, ; le groupe
( & 1) opère proprement et librement sur z et X/(+ 1) s'identifie à X; les fibres de la
projection P: X -+ X sont les ensembles Or(T,(X)), pour x E X. On appelle orientation
de X une orientation du fibré T(X), autrement dit une section continue du fibré Z; une
telle section est de classe Cr. On dit que X est orientable si elle possède une orientation.
Toute variété de dimension zéro est orientable et possède une orientation canonique
(10.2.3).
Soit ( E z et soit x = ~ ( f )
son image dans X; l'application T,(T): %@) 3 T,@)
est un isomorphisme; eiie permet d'identifier f à un élément g de Or(T,(X)). L'application f H { est une orientation de X, dite canonique; en particulier, X est orientable.
10.2.5 ( dimension finie et soit8 X -t Y un morphisme de variétés. On appelle orientation de
f u n morphisme8 ' : 3 7 rendant commutatif le diagramme
i
ji:-7
et compatible avec l'action du groupe (+. 1).