10.1.6 (6 Mesure positive définie par une forme différentielle de degré maximum »)). Conservons les notations de 10.1.5 et supposons de plus que X soit séparée et que w soit
localement de module intégrable. Si c = (U, rp, Kn) est une carte deX, notons vc la mesure
sur y(U) produit de la mesure pgD., par la fonction modCf,) (INT, V, Q 5, no 2, déf. 2)
et soit cr, l'image de vc par p-*. Il existe sur X une mesure a et une seule telie que, pour
toute carte c = (U, rp, Kn) de X, la restriction de a à U soit égale à a,. On dit que la
mesure a est le module de w et on la note mod(w),. C'est une mesure positive. Lorsque
K = R et que p est la mesure de Lebesgue, on écrit 1 wl au lieu de mod(w),.
Si X est pure de dimension n, et si a est un nombre réel >O, on a mod(w), =
an mod(w),.
Soit A une partie de X. Pour que A soit localement négligeable (10.1.3), il faut et il
suffit que, pour tout ouvert U de X et toute forme différentielle w de degré maximum
sur U qui est localement de module intégrable, l'ensemble A n U soit localement
négligeable pour la mesure mod(w),.
Supposons de plus X paracompacte et soit v une mesure sur X appartenant à la
classe d'équivalence canonique M (10.1.4). La mesure mod(o), est de base v ONT, V,
Q 5, no 2, déf. 2). Pour que mod(w), appartienne à M, il faut et il suffit que l'ensemble
des x E X tels que w(x) = O soit localement négligeable.
10.1.7. Exemple. - Soit G un groupe de Lie sur K, de dimension finie n, et soit w une
forme différentielle de degré n sur G, invariante par les translations à gauche, et non
nulle. La mesure mod(w), correspondante est alors une mesure de Haar à gauche sur
le groupe localement compact G.
Lorsque G est le groupe multiplicatif K*, on peut prendre pour w la forme &lx, et
l'on a mod(w), = (mod)-l.p, cf. INT, VII, 8 1, no 10, prop. 14.
10.2. Orientations
Rappelons que, dans ce numéro et les suivants, on suppose K = R.
10.2.1 ((( Orientation d'un espace vectoriel réel )>). Soit E un espace vectoriel réel de
dimension finie n. On note Or@) l'ensemble des orientations de E (A, VI, 5 2, no 7);
les éléments de Or(E) sont les deux demi-droites fermées de l'espace vectoriel
n
det(E) = AE. Si 5 E Or@), l'autre élément de Or@) est appelé l'orientation opposée
à 5, et noté - 5.
Soit O -+ E' -% E f+ E + O une suite exacte d'espaces vectoriels (réels) de dimension finie; posons p' = dim E', p" = dim E et soit 5' (resp. F? une orientation de E'
(resp. E ) . On note f'f" (resp. 5°F) l'orientation de Econtenant un (p' + p")-vecteur non
Pr
nul a ' A u" (resp. u" A ut), où u' est l'image par Aa d'unpr-vecteur de E' appartenant
P
à 5' et où u" est un p"-vecteur de E dont l'image par AB appartient à 5" (cf. A, VI,§ 2,
no 7). Si E = E' x En, cc et / 3 étant les applications canoniques, on dit que f $ est la
produit de l'orientation 5' et de l'orientation p.
10.2.2 (t< Espace des orientations )>). Soient B un espace topologique et M un fibré
vectoriel réel de base B (au sens topologique - cf. Q 6, p. 61, Note (*)), de rang fini
localement de module intégrable. Si c = (U, rp, Kn) est une carte deX, notons vc la mesure
sur y(U) produit de la mesure pgD., par la fonction modCf,) (INT, V, Q 5, no 2, déf. 2)
et soit cr, l'image de vc par p-*. Il existe sur X une mesure a et une seule telie que, pour
toute carte c = (U, rp, Kn) de X, la restriction de a à U soit égale à a,. On dit que la
mesure a est le module de w et on la note mod(w),. C'est une mesure positive. Lorsque
K = R et que p est la mesure de Lebesgue, on écrit 1 wl au lieu de mod(w),.
Si X est pure de dimension n, et si a est un nombre réel >O, on a mod(w), =
an mod(w),.
Soit A une partie de X. Pour que A soit localement négligeable (10.1.3), il faut et il
suffit que, pour tout ouvert U de X et toute forme différentielle w de degré maximum
sur U qui est localement de module intégrable, l'ensemble A n U soit localement
négligeable pour la mesure mod(w),.
Supposons de plus X paracompacte et soit v une mesure sur X appartenant à la
classe d'équivalence canonique M (10.1.4). La mesure mod(o), est de base v ONT, V,
Q 5, no 2, déf. 2). Pour que mod(w), appartienne à M, il faut et il suffit que l'ensemble
des x E X tels que w(x) = O soit localement négligeable.
10.1.7. Exemple. - Soit G un groupe de Lie sur K, de dimension finie n, et soit w une
forme différentielle de degré n sur G, invariante par les translations à gauche, et non
nulle. La mesure mod(w), correspondante est alors une mesure de Haar à gauche sur
le groupe localement compact G.
Lorsque G est le groupe multiplicatif K*, on peut prendre pour w la forme &lx, et
l'on a mod(w), = (mod)-l.p, cf. INT, VII, 8 1, no 10, prop. 14.
10.2. Orientations
Rappelons que, dans ce numéro et les suivants, on suppose K = R.
10.2.1 ((( Orientation d'un espace vectoriel réel )>). Soit E un espace vectoriel réel de
dimension finie n. On note Or@) l'ensemble des orientations de E (A, VI, 5 2, no 7);
les éléments de Or(E) sont les deux demi-droites fermées de l'espace vectoriel
n
det(E) = AE. Si 5 E Or@), l'autre élément de Or@) est appelé l'orientation opposée
à 5, et noté - 5.
Soit O -+ E' -% E f+ E + O une suite exacte d'espaces vectoriels (réels) de dimension finie; posons p' = dim E', p" = dim E et soit 5' (resp. F? une orientation de E'
(resp. E ) . On note f'f" (resp. 5°F) l'orientation de Econtenant un (p' + p")-vecteur non
Pr
nul a ' A u" (resp. u" A ut), où u' est l'image par Aa d'unpr-vecteur de E' appartenant
P
à 5' et où u" est un p"-vecteur de E dont l'image par AB appartient à 5" (cf. A, VI,§ 2,
no 7). Si E = E' x En, cc et / 3 étant les applications canoniques, on dit que f $ est la
produit de l'orientation 5' et de l'orientation p.
10.2.2 (t< Espace des orientations )>). Soient B un espace topologique et M un fibré
vectoriel réel de base B (au sens topologique - cf. Q 6, p. 61, Note (*)), de rang fini