Exemples
a) Toute sous-variété de X qui est de codimension 2 1 en tout point (i.e. d'intérieur vide) est localement négligeable.
b) Soit g une fonction de classe Cr sur X, et soit Ag l'ensemble des points x E X tels
que g(x) = O; supposons que l'intérieur de Ag soit vide, et que r = w; alors A, est
localement négligeable.
c) Soitf: Y -t X un morphisme de variétés de classe Cr, la variété Y étant réunion
dénombrable de compacts. On suppose que l'on a dim, Y < dim,,, X pour tout y E Y.
L'image par f de toute partie localement négligeable de Y est une partie localement
négligeable de X. Il en est de même de l'image par f de l'ensemble des points où f
n'est pas étale (<( premier théorème de Sard )>) ; en particulier, si dim, Y < dim,,,, X
pour tout y E Y, f (Y) est une partie localement négligeable de X.
d) Supposons K de caractéristique zéro. Soit f: Y -t X un morphisme de variétés
de classe Cr (r E Ng, r > CO), Y étant réunion dénombrable de compacts. Soit C
l'ensemble des points de Y où f n'est pas une submersion (<( points critiques a). Alors
f (C) est une partie localement négligeable de X (G second théorème de Sard ))).(l)
10.1.4. Soit X une variété paracompacte de classe Cr. Il existe sur X une classe M
de mesures équivalentes @NT, V, 5 5, no 6 ) et une seule telie que, quelle que soit
v E M et quelle que soit la carte c = (U, p, Kn) de X, l'image par p de la restriction de
v à U soit équivalente à pz&. On dit que M est la classe canonique de mesures sur X
Pour qu'un sous-ensemble A de X soit localement négligeable (10.1.3), il faut et il
suffit qu'il soit localement négligeable (INT, IV, 5 2, no 2) pour une (resp. toute)
mesure v E M.
Si K = R et r # w (resp. K = R ou C et r = w, resp. K est ultramétrique), il
existe v E M telle que, pour toute carte c = (U, q ~ , Kn) de X, la densité de p(v,) par
rapport à
soit partout >O et de classe Cr-l (resp. de classe Cm, resp. localement
constante). Si v et v' sont deux telles mesures, la densité de v
' par rapport à v est
partout >O et de classe Cr-l (resp. de classe Cm, resp. localement constante).
10.1.5. Soit X une variété de classe Cr; soit T ' @ ) le fibré cotangent de X (8.2.2) et
posons Q = det(T'(X)) (7.9.9). Le fibré vectoriel Q est de rang 1 en chaque point;
lorsque X est pure de dimension n, il s'identifie au fibré vectoriel Altn(T(X); Kx).
Soit u une section de Q sur X; on dit, par abus de langage, que w est une forme
différentielle de degré maximum sur X. Soit c = (U, p, Kn) une carte de X; notons
ul,. . ., un les fonctions coordonnées sur Kn. Il existe une fonction& et une seule sur
p(U) telie que ul U = p*Cf, .du1 A . - - A dun). On dit que w est localement de module
intégrable si, pour toute carte c = (U, p, Kn) de X, la fonction réelle modCf,):
p(U) -+ R est localement intégrable pour
(INT, IV, 5 4, no 1); il suffit de vérifier
cette propriété pour les cartes d'un atlas de X. Si w est continue, et en particulier si w
est de classe C; avec s E NK, s < r - 1, alors w est localement de module intégrable.
l Lorsque K = R, il suffit de supposer que r > sup (dirn,(,, X - dim, Y); cf. par exemple A.
2 I E Y
SARD, Bull. Am. Math. Soc., XLVm (1943), p. 883-890.
a) Toute sous-variété de X qui est de codimension 2 1 en tout point (i.e. d'intérieur vide) est localement négligeable.
b) Soit g une fonction de classe Cr sur X, et soit Ag l'ensemble des points x E X tels
que g(x) = O; supposons que l'intérieur de Ag soit vide, et que r = w; alors A, est
localement négligeable.
c) Soitf: Y -t X un morphisme de variétés de classe Cr, la variété Y étant réunion
dénombrable de compacts. On suppose que l'on a dim, Y < dim,,, X pour tout y E Y.
L'image par f de toute partie localement négligeable de Y est une partie localement
négligeable de X. Il en est de même de l'image par f de l'ensemble des points où f
n'est pas étale (<( premier théorème de Sard )>) ; en particulier, si dim, Y < dim,,,, X
pour tout y E Y, f (Y) est une partie localement négligeable de X.
d) Supposons K de caractéristique zéro. Soit f: Y -t X un morphisme de variétés
de classe Cr (r E Ng, r > CO), Y étant réunion dénombrable de compacts. Soit C
l'ensemble des points de Y où f n'est pas une submersion (<( points critiques a). Alors
f (C) est une partie localement négligeable de X (G second théorème de Sard ))).(l)
10.1.4. Soit X une variété paracompacte de classe Cr. Il existe sur X une classe M
de mesures équivalentes @NT, V, 5 5, no 6 ) et une seule telie que, quelle que soit
v E M et quelle que soit la carte c = (U, p, Kn) de X, l'image par p de la restriction de
v à U soit équivalente à pz&. On dit que M est la classe canonique de mesures sur X
Pour qu'un sous-ensemble A de X soit localement négligeable (10.1.3), il faut et il
suffit qu'il soit localement négligeable (INT, IV, 5 2, no 2) pour une (resp. toute)
mesure v E M.
Si K = R et r # w (resp. K = R ou C et r = w, resp. K est ultramétrique), il
existe v E M telle que, pour toute carte c = (U, q ~ , Kn) de X, la densité de p(v,) par
rapport à
soit partout >O et de classe Cr-l (resp. de classe Cm, resp. localement
constante). Si v et v' sont deux telles mesures, la densité de v
' par rapport à v est
partout >O et de classe Cr-l (resp. de classe Cm, resp. localement constante).
10.1.5. Soit X une variété de classe Cr; soit T ' @ ) le fibré cotangent de X (8.2.2) et
posons Q = det(T'(X)) (7.9.9). Le fibré vectoriel Q est de rang 1 en chaque point;
lorsque X est pure de dimension n, il s'identifie au fibré vectoriel Altn(T(X); Kx).
Soit u une section de Q sur X; on dit, par abus de langage, que w est une forme
différentielle de degré maximum sur X. Soit c = (U, p, Kn) une carte de X; notons
ul,. . ., un les fonctions coordonnées sur Kn. Il existe une fonction& et une seule sur
p(U) telie que ul U = p*Cf, .du1 A . - - A dun). On dit que w est localement de module
intégrable si, pour toute carte c = (U, p, Kn) de X, la fonction réelle modCf,):
p(U) -+ R est localement intégrable pour
(INT, IV, 5 4, no 1); il suffit de vérifier
cette propriété pour les cartes d'un atlas de X. Si w est continue, et en particulier si w
est de classe C; avec s E NK, s < r - 1, alors w est localement de module intégrable.
l Lorsque K = R, il suffit de supposer que r > sup (dirn,(,, X - dim, Y); cf. par exemple A.
2 I E Y
SARD, Bull. Am. Math. Soc., XLVm (1943), p. 883-890.