$10. Mesures définies par des formes différentielles
Dans ce paragraphe, on suppose que K est localement compact. A partir du no 10.2, on
suppose K = R. Dans les nos 10.1 et 10.4, toutes les variétés considérées sont supposées localement de dimension finie; lorsqu'elles sont séparées, elles sont localement
compactes.
10.1. Mesure module d'une forme diyérentielle
Notations. -On note p une mesure de Haar (INT, VII, 5 1, no 2) sur le groupe
additif de K. On note y@" la mesure p @ - - - @ p sur Kn et sa restriction à un ouvert
U de Kn. Pour a E K, on note mod(a) le module de a (INT, VII, § 1, no 10 et AC, VI,
§ 9, no 1). Si K = R, on a mod(a) = [a]; si K = C, on a mod(a) = /al2; si K est
ultramétrique, on a mod(a) = q-"("), oh q désigne le nombre d'éléments du corps
résiduel de K et v la valuation normée de K (AC, VI, 9 9, no 1, prop. 1).
10.1.1. Soient U et V des ouverts de K", et soit8 U + V une application de classe Cr,
avec r E ND Soit x E U; on appelle jacobien de f en x, et on note Jacx(f), le déterminant de l'application linéaire D f (x) dérivée de f en x. On note J a c o la fonction
x i - . Jacx(f); la fonction mod(Jac0) est une fonction continue dans U à valeurs
réelles positives.
10.1.2 (<( Changement de variable dans les intégrales O). Les hypothèses étant celles de
10.1.1, supposons que f soit un isomorphisme de classe Cr de la variété U sur la variété
V. Alors l'imagepar f de la mesure mod(Jac(f)). &'" est &' "; pour toute fonction continue à support compact v: V + C, on a
10.1.3. Soit X une variété de classe Cr, et soit A une partie de X. On dit que A est
localement négligeable si, pour toute-carte (U, y, Kn) de la variété X, l'ensemble
y(A n U) est pen-négligeable ONT, IV, 9 2, no 2); cette condition ne dépend pas du
choix de p, et il suffit de la vérifier pour une famille de cartes dont les domaines
recouvrent A. Tout ensemble contenu dans la réunion d'une famille dénombrable
d'ensembles localement négligeables est localement négligeable.
Dans ce paragraphe, on suppose que K est localement compact. A partir du no 10.2, on
suppose K = R. Dans les nos 10.1 et 10.4, toutes les variétés considérées sont supposées localement de dimension finie; lorsqu'elles sont séparées, elles sont localement
compactes.
10.1. Mesure module d'une forme diyérentielle
Notations. -On note p une mesure de Haar (INT, VII, 5 1, no 2) sur le groupe
additif de K. On note y@" la mesure p @ - - - @ p sur Kn et sa restriction à un ouvert
U de Kn. Pour a E K, on note mod(a) le module de a (INT, VII, § 1, no 10 et AC, VI,
§ 9, no 1). Si K = R, on a mod(a) = [a]; si K = C, on a mod(a) = /al2; si K est
ultramétrique, on a mod(a) = q-"("), oh q désigne le nombre d'éléments du corps
résiduel de K et v la valuation normée de K (AC, VI, 9 9, no 1, prop. 1).
10.1.1. Soient U et V des ouverts de K", et soit8 U + V une application de classe Cr,
avec r E ND Soit x E U; on appelle jacobien de f en x, et on note Jacx(f), le déterminant de l'application linéaire D f (x) dérivée de f en x. On note J a c o la fonction
x i - . Jacx(f); la fonction mod(Jac0) est une fonction continue dans U à valeurs
réelles positives.
10.1.2 (<( Changement de variable dans les intégrales O). Les hypothèses étant celles de
10.1.1, supposons que f soit un isomorphisme de classe Cr de la variété U sur la variété
V. Alors l'imagepar f de la mesure mod(Jac(f)). &'" est &' "; pour toute fonction continue à support compact v: V + C, on a
10.1.3. Soit X une variété de classe Cr, et soit A une partie de X. On dit que A est
localement négligeable si, pour toute-carte (U, y, Kn) de la variété X, l'ensemble
y(A n U) est pen-négligeable ONT, IV, 9 2, no 2); cette condition ne dépend pas du
choix de p, et il suffit de la vérifier pour une famille de cartes dont les domaines
recouvrent A. Tout ensemble contenu dans la réunion d'une famille dénombrable
d'ensembles localement négligeables est localement négligeable.