Si p, est une fonction analytique sur U, on a
et si 7 est un champ de vecteurs sur U, on a
9.4.2 (<( Identité de Jacobson )>). Soit L la Fp-algèbre de Lie libre (LIE, II, 5 2, no 2) sur
un ensemble {x, y} à deux éléments. Il existe un élément et un seul A&, y) de L tel que
l'on ait
dans l'algèbre enveloppante de L. Exemples:
Si 5 et 7 sont des champs de vecteurs sur X, on a
9.4.3. Exemple. - Prenons X = K (resp. K*) et notons x I7application canonique
X -t K. Soit 5 (resp. q) le champ de vecteurs a/ûx (resp. x. alax); il est invariant par
les translations du groupe additif (resp. multiplicatif) X. On a
9.4.4 ((( Fibrés intégrables ))). Soit F un sous-fibré vectoriel de T(X). On dit que F est
intégrable si, pour tout x E X, il existe un système de coordonnées (11, . . . ,ta) de X en
x et un entier rn < n tels que (8/aC1, . . . , 8/aCrn) soit un repère de F au voisinage de x.
Pour que F soit intégrable, il faut et suffit qu'il vérifie la condition suivante:
Pour tout ouvert U de X, q ( U ) est une sous-algèbre de Lie de Y;&J) stable
par I'opération 6 - Lp.