@, et
(z,, ao) un point de Z x A, et p un morphisme de classe Ck de Z dans B. Il existe un
voisinage ouvert Z' x A' de (z,, a,) dans Z x A et un morphisme @: Z ' x A' - i B
de classe Ck tels que, pour tout z E Z', l'application a H @(z, a) de A' dans B admette
f pour application tangente et prenne la valeur p(z) au point a,.
9.3.8. Conservons les hypothèses et notations de 9.3.7 et supposons que A (resp. B)
soit une sous-variété ouverte d'un espace de Banach E (resp. M). L'application f
s'identifie alors à un morphisme de classe Cs de X = A x B dans l'espace de Banach
9 ( E ; M). Notons Dl f (resp. D 2 n la première (resp. seconde) dérivée partielle de f
(1.6.2); c'est un morphisme de classe Cs--l de X dans S ( E ; S ( E ; M)) (resp. dans
9 ( M ; 9 ( E ; M))), espace que i'on identifie de façon évidente à B2(E; M) (resp. à
3 ( M , E; M)). Pour que F soit intégrable, il faut et il suffit que, pour tout x EX,
l'application bilinéaire
A, : (hl, h2) Dlf (x)(h1, h2) + D2f (x)Cf(x)h,, h2)
de E x E dans M soit symétrique. Sous cette condition, si p, est une intégrale de f
définie dans un ouvert A' de A, la dérivée seconde de p, en un point a de A' est A,,,q,,,,.
Si E = Kn, et si l'on note ( 9 , . . . , xn) les fonctions coordonnées sur Kn, l'application f est définie par une famille V;, . . ., fn) d'applications de A x B dans M, et la
condition d'intégrabilité s'écrit :
quels que soient les entiers i, j dans (1, n). Une application p, d'un ouvert A' de A
dans B est une intégrale de f si et seulement si Son a
a9
- = J;(x, q(x))
pour tout x E A' et tout i é (1, n),
axi
autrement dit, si l'on a
9.4. Fibrés intégrables en caractéristique p # O
Dans ce no, on suppose K de caractéristique p # O. On note X une variété K-analytique Iocalement de dimension finie.
9.4.1 (u Puissances p-ièmes )>). Soit f un champ de vecteurs sur un ouvert U de X. Il
existe un champ de vecteurs f P et un seul sur U tel que l'on ait
pour toute fonction analytique f définie dans un ouvert de U.
(z,, ao) un point de Z x A, et p un morphisme de classe Ck de Z dans B. Il existe un
voisinage ouvert Z' x A' de (z,, a,) dans Z x A et un morphisme @: Z ' x A' - i B
de classe Ck tels que, pour tout z E Z', l'application a H @(z, a) de A' dans B admette
f pour application tangente et prenne la valeur p(z) au point a,.
9.3.8. Conservons les hypothèses et notations de 9.3.7 et supposons que A (resp. B)
soit une sous-variété ouverte d'un espace de Banach E (resp. M). L'application f
s'identifie alors à un morphisme de classe Cs de X = A x B dans l'espace de Banach
9 ( E ; M). Notons Dl f (resp. D 2 n la première (resp. seconde) dérivée partielle de f
(1.6.2); c'est un morphisme de classe Cs--l de X dans S ( E ; S ( E ; M)) (resp. dans
9 ( M ; 9 ( E ; M))), espace que i'on identifie de façon évidente à B2(E; M) (resp. à
3 ( M , E; M)). Pour que F soit intégrable, il faut et il suffit que, pour tout x EX,
l'application bilinéaire
A, : (hl, h2) Dlf (x)(h1, h2) + D2f (x)Cf(x)h,, h2)
de E x E dans M soit symétrique. Sous cette condition, si p, est une intégrale de f
définie dans un ouvert A' de A, la dérivée seconde de p, en un point a de A' est A,,,q,,,,.
Si E = Kn, et si l'on note ( 9 , . . . , xn) les fonctions coordonnées sur Kn, l'application f est définie par une famille V;, . . ., fn) d'applications de A x B dans M, et la
condition d'intégrabilité s'écrit :
quels que soient les entiers i, j dans (1, n). Une application p, d'un ouvert A' de A
dans B est une intégrale de f si et seulement si Son a
a9
- = J;(x, q(x))
pour tout x E A' et tout i é (1, n),
axi
autrement dit, si l'on a
9.4. Fibrés intégrables en caractéristique p # O
Dans ce no, on suppose K de caractéristique p # O. On note X une variété K-analytique Iocalement de dimension finie.
9.4.1 (u Puissances p-ièmes )>). Soit f un champ de vecteurs sur un ouvert U de X. Il
existe un champ de vecteurs f P et un seul sur U tel que l'on ait
pour toute fonction analytique f définie dans un ouvert de U.