N(p, E), le sous-espace vectoriel de AltP(T,(X); E) formé des éléments u tels que
u(v1, . . . , vp) = O pour VI, . . . , up dans F,. Les espaces N b , E),, pour x E X, sont les
fibres d'un sous-fibré vectoriel de classe Cs de AltP(T(X); E). Notons-le N b , E). Si
F est intégrable, on a:
(vi) pour tout ouvert U de X et toute forme w E 9&,E)(U), on a dw E 9;;: l,E)(U).
Inversement, si (vi) est vérifiée pour p = 1 et pour tout espace de Banach E,
le fibré F est intégrable; lorsque K = R ou C, il sufEit même de vérifier (vi) pourp = 1
et E = K.
Supposons que le dual de T O / F admette un repère (w,, . . . , un). L'intégrabilité de
F est alors équivalente à la condition suivante:
(vii)
d w i A w l A - - - A w n = O pour 1 < i < n .
S'il existe en outre un sous-fibré vectoriel G de classe CS de T G ) tel que T(X) soit
somme directe de F et de G, la condition (vii) équivaut à:
(viii) il existe des formes différentielles cc: (i, j dans 1) de degré 1 sur X, de classe
CS-l, telles que dw, = 2 cc: A wj pour tout i E 1.
i
9.3.6. Soit L un espace de Banach et soit w une forme différentielle de degré 1 sur X à
valeurs dans L, de classe C" On fait les deux hypothèses suivantes:
a) pour tout x E X, w, est un homomorphisme surjectif de T,(X) dans L, et le
noyau de w, est F,;
b) il existe un sous-fibré vectoriel G de T G ) tel que T G ) soit somme directe de F
et de G.
L'intégrabilité de F est alors équivalente à:
(ix) il existe une forme différentielle a de degré 1 sur X à valeurs dans End&) telle
que dm = cc A w, le produit extérieur étant défini par l'accouplement canonique
End@) x L -t L (7.8.2 et 8.3.2).
9.3.7 (t( Équations aux différentielles totales B ) . On suppose que X est le produit de
deux variétés A et B de classe Cr; on note p, : X -+ A et p,: X -+ B les deux projections. Soit f un morphisme de classe Cs de pTT(A) dans pPT(B). Les graphes des applications f,,,,,: T,(A) -+ T,(B) sont les fibres d'un sous-fibré vectoriel de classe Cs de
TG); notons-le Ff.
Soit A' un ouvert de A, et soit 9: A' -t B un morphisme de classe Ck (k E NK,
k < r). On dit que g, est une intégrale de f si, pour tout a E A', on a T,(g,) =fa,,(=,; cela
équivaut à dire que l'application a H (a, ~ ( a ) )
de A' dans X est une intégrale de Ff
(9.3.1). Une telle application est de classe CS+l. Si pl et pz sont deux intégrales de
f et prennent la même valeur en un point a E A, elles coïncident dans un voisinage
de a.
Plus généralement, soit Z une variété de classe Ck, soit A' un ouvert de A, soit
a E A' et soient O,, a, des morphismes de classe Ck de Z x A' dans B. Supposons que
3-B.