9.3.1. Soit V une variété de classe Ck (k E NK, k < r) et soit f un morphisme de classe
Ck de V dans X. On dit que f est une intégrale de F si TCf) applique T(V) dans F.
Une sous-variété Z de classe Ck de X est appelée une sous-variété intégrale de F si
l'injection Z 4 X est une intégrale de F au sens ci-dessus, i.e. si l'on a T,(Z) c F,
pour tout x E Z.
Soit x EX. Si Z1 et Z2 sont deux sous-variétés intégrales de X contenant x et si
T,(Z,) = F, , il existe un voisinage U de x tel que U n Z, c Z1. Si en outre T,(Z,) =
F, , les germes de Z, et Z2 en x coïncident.
9.3.2. On dit que F est intégrable s'il existe un feuilletage Y de X de classe Cs tel que
F = T(X, Y) (9.2.8). Un tel feuilletage est alors unique; on l'appelle le feuilletage
intégral de F. Pour qu'un morphismefi V -+ X de classe C-oit une intégrale de F, il
faut et il suffit que f soit un morphisme de V dans Y.
Exemple. - Si F est de rang 1 en tout point, F est intégrable, et définit sur X un
feuilletage pur de dimension 1. Supposons en outre que K = R, que X soit séparée, et
que F admette pour repère un champ de vecteurs E partout non nul. Alors, pour tout
x EX, la feuille connexe maximale contenant x est l'image de l'arc intégral maximal
de f d'origine x (9.1.3).
9.3.3 (u Critères d'intégrabilité »)). Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) Le sous-fibré vectoriel F de TG) est intégrable.
(ii) Pout tout x EX, il existe une sous-variété intégrale Z de classe Cs de F telie
que x E Z et T,(Z) = F,.
(iii) Quels que soient l'ouvert U de X et les champs de vecteurs 4 et 7 appartenant
à 9 ; (U) (7.4.1), on a [[,TI E iO,"- '(U).
Soit
une famille de sections de F de classe Cs telle que, pour tout x E X,
l'ensemble des &(x) soit un sous-ensemble total de l'espace de Banach F, (EVT, 1,
8 2, no 1). Les conditions (i), (ii), (iii) sont alors équivalentes à:
(iv) pour tout couple (i, j ) d'éléments de 1, et tout x E X, on a [&, (,](x) E Fx.
Lorsque 1 est hi, et que la famille (Et) est un repère de F, les conditions précédentes équivalent encore à:
(v) il existe une famille (c:),, j , rl
x de fonctions sur X à valeurs dans K telles
que [fi, fj] = c: Ek quels que soient i, j dans 1.
k
(Si tel est le cas, les fonctions c f , sont de classe Cs-,.)
9.3.4. Soit s' E NK, avec s' < s, et soit F' le fibré vectoriel de classe Cs' déduit de
F par affaiblissement de structure (8.7.1). Pour que F soit intégrable, il faut et il
suffit que F' le soit. Dans ce cas, le feuilletage intégral de F' se déduit de celui de F par
affaiblissement de structure.
9.3.5. Soient E un espace de Banach et p un entier 20. Pour tout x E X, notons
Ck de V dans X. On dit que f est une intégrale de F si TCf) applique T(V) dans F.
Une sous-variété Z de classe Ck de X est appelée une sous-variété intégrale de F si
l'injection Z 4 X est une intégrale de F au sens ci-dessus, i.e. si l'on a T,(Z) c F,
pour tout x E Z.
Soit x EX. Si Z1 et Z2 sont deux sous-variétés intégrales de X contenant x et si
T,(Z,) = F, , il existe un voisinage U de x tel que U n Z, c Z1. Si en outre T,(Z,) =
F, , les germes de Z, et Z2 en x coïncident.
9.3.2. On dit que F est intégrable s'il existe un feuilletage Y de X de classe Cs tel que
F = T(X, Y) (9.2.8). Un tel feuilletage est alors unique; on l'appelle le feuilletage
intégral de F. Pour qu'un morphismefi V -+ X de classe C-oit une intégrale de F, il
faut et il suffit que f soit un morphisme de V dans Y.
Exemple. - Si F est de rang 1 en tout point, F est intégrable, et définit sur X un
feuilletage pur de dimension 1. Supposons en outre que K = R, que X soit séparée, et
que F admette pour repère un champ de vecteurs E partout non nul. Alors, pour tout
x EX, la feuille connexe maximale contenant x est l'image de l'arc intégral maximal
de f d'origine x (9.1.3).
9.3.3 (u Critères d'intégrabilité »)). Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i) Le sous-fibré vectoriel F de TG) est intégrable.
(ii) Pout tout x EX, il existe une sous-variété intégrale Z de classe Cs de F telie
que x E Z et T,(Z) = F,.
(iii) Quels que soient l'ouvert U de X et les champs de vecteurs 4 et 7 appartenant
à 9 ; (U) (7.4.1), on a [[,TI E iO,"- '(U).
Soit
une famille de sections de F de classe Cs telle que, pour tout x E X,
l'ensemble des &(x) soit un sous-ensemble total de l'espace de Banach F, (EVT, 1,
8 2, no 1). Les conditions (i), (ii), (iii) sont alors équivalentes à:
(iv) pour tout couple (i, j ) d'éléments de 1, et tout x E X, on a [&, (,](x) E Fx.
Lorsque 1 est hi, et que la famille (Et) est un repère de F, les conditions précédentes équivalent encore à:
(v) il existe une famille (c:),, j , rl
x de fonctions sur X à valeurs dans K telles
que [fi, fj] = c: Ek quels que soient i, j dans 1.
k
(Si tel est le cas, les fonctions c f , sont de classe Cs-,.)
9.3.4. Soit s' E NK, avec s' < s, et soit F' le fibré vectoriel de classe Cs' déduit de
F par affaiblissement de structure (8.7.1). Pour que F soit intégrable, il faut et il
suffit que F' le soit. Dans ce cas, le feuilletage intégral de F' se déduit de celui de F par
affaiblissement de structure.
9.3.5. Soient E un espace de Banach et p un entier 20. Pour tout x E X, notons