no 3
ÉQUATIONS D ~ R E N T D E L L E S
ET FEUILLETAGES
3 1
un morphisme de variétés de Z dans U, il faut et il sufEt que le composé de f et de
l'injection canonique de U dans X soit un morphisme de variétés de Z dans X. Si X
est localement compact et dénombrable à l'infini, toute feuille connexe de (X, Y)
admet une base dénombrable d'ouverts (cf. TG, 1, 3e éd., $11, no 7, cor. 2 du th. 1).
9.2.9. Supposons que K = R ou C. Soit Y un feuilletage de X. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
a) Il existe une variété S et une submersion p: X -t S telles que Y = X,.
b) Pour tout x E X, il existe une sous-variété Sx de X possédant les deux propriétés suivantes:
bJ L'espace tangent T,(S,) à S, en x est un supplémentaire topologique de
Tx(X, Y) dans TxOO.
b,) Toute feuille connexe de (X, Y) rencontre S, en au plus un point.
Supposons ces conditions vérifiées et soit Rjx, y$ la relation sur X << x et y appartiennent à une même feuille connexe s; alors R est une relation d'équivalence régulière
(5.9.5) sur X, et, si p désigne la projection canonique X + X/R, on a Y = &.
Exemple. - Prenons K = R et X = R2. Faisons opérer le groupe discret I ' = Z2 sur
X par translations. Soit rn E R et soit (X, Y, ) le feuilletage d é f 3 par la submersion
p: (x,, x2) H x2 - mx, de X sur R. Posons X' = XII' et Y; = Y&' ; alors Y; est
un feuilletage du tore X' (cf. 9.2.4, exemple d)). Si rn est rationnel, il existe une submersion~' de X' sur R/Z telle que Y ; = XP.. Si m est irrationnel, toute feuille connexe
maximale de (X', Yk) est dense dans X', et il n'existe pas de submersion p' de X' dans
une variété S telle que Y; = Xi,.
9.2.10. Soit Y un feuilletage de X, et soit T: X -t S un morphisme de variétés tel que
le composé Y + X -% S soit étale. Si S' est un ouvert de S, une section a: Sr -t X de
P au-dessus de S' est dite horizontale (par rapport au feuilletage Y) si c'est un morphisme de S' dans Y; il revient au même de dire que a(S1) est une feuille de (X, Y), ou
encore que T(u) applique T(S1) dans TG, Y). Pour tout s, E S et pour tout x, E ~-l(s,),
il existe une section horizontale définie au voisinage de so et prenant la valeur x, en s,;
deux telles sections coïncident sur un voisinage de s,.
Plus généralement, soit s, E S, soit T une variété, soit f un morphisme de T dans la
sous-variété p-l(s,) de X, et soit to E T. Il existe alors un voisinage ouvert T' (resp. S')
de t, dans T (resp. de so dans S), et un morphisme
F : S f x T ' + X
vérifiant la condition suivante: pour tout t E T ' , l'application s n F(s, t) est une
section horizontale de P au-dessus de S' prenant la valeur f (t) au point so. Deux telles
applications F coïncident sur un voisinage de (s,, t,).
9.3. Sous-fbrés intégrables
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr et F un sous-fibré vectoriel de classe Cs
de T(X), avec r, s dans NK, s < r - 1.
ÉQUATIONS D ~ R E N T D E L L E S
ET FEUILLETAGES
3 1
un morphisme de variétés de Z dans U, il faut et il sufEt que le composé de f et de
l'injection canonique de U dans X soit un morphisme de variétés de Z dans X. Si X
est localement compact et dénombrable à l'infini, toute feuille connexe de (X, Y)
admet une base dénombrable d'ouverts (cf. TG, 1, 3e éd., $11, no 7, cor. 2 du th. 1).
9.2.9. Supposons que K = R ou C. Soit Y un feuilletage de X. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
a) Il existe une variété S et une submersion p: X -t S telles que Y = X,.
b) Pour tout x E X, il existe une sous-variété Sx de X possédant les deux propriétés suivantes:
bJ L'espace tangent T,(S,) à S, en x est un supplémentaire topologique de
Tx(X, Y) dans TxOO.
b,) Toute feuille connexe de (X, Y) rencontre S, en au plus un point.
Supposons ces conditions vérifiées et soit Rjx, y$ la relation sur X << x et y appartiennent à une même feuille connexe s; alors R est une relation d'équivalence régulière
(5.9.5) sur X, et, si p désigne la projection canonique X + X/R, on a Y = &.
Exemple. - Prenons K = R et X = R2. Faisons opérer le groupe discret I ' = Z2 sur
X par translations. Soit rn E R et soit (X, Y, ) le feuilletage d é f 3 par la submersion
p: (x,, x2) H x2 - mx, de X sur R. Posons X' = XII' et Y; = Y&' ; alors Y; est
un feuilletage du tore X' (cf. 9.2.4, exemple d)). Si rn est rationnel, il existe une submersion~' de X' sur R/Z telle que Y ; = XP.. Si m est irrationnel, toute feuille connexe
maximale de (X', Yk) est dense dans X', et il n'existe pas de submersion p' de X' dans
une variété S telle que Y; = Xi,.
9.2.10. Soit Y un feuilletage de X, et soit T: X -t S un morphisme de variétés tel que
le composé Y + X -% S soit étale. Si S' est un ouvert de S, une section a: Sr -t X de
P au-dessus de S' est dite horizontale (par rapport au feuilletage Y) si c'est un morphisme de S' dans Y; il revient au même de dire que a(S1) est une feuille de (X, Y), ou
encore que T(u) applique T(S1) dans TG, Y). Pour tout s, E S et pour tout x, E ~-l(s,),
il existe une section horizontale définie au voisinage de so et prenant la valeur x, en s,;
deux telles sections coïncident sur un voisinage de s,.
Plus généralement, soit s, E S, soit T une variété, soit f un morphisme de T dans la
sous-variété p-l(s,) de X, et soit to E T. Il existe alors un voisinage ouvert T' (resp. S')
de t, dans T (resp. de so dans S), et un morphisme
F : S f x T ' + X
vérifiant la condition suivante: pour tout t E T ' , l'application s n F(s, t) est une
section horizontale de P au-dessus de S' prenant la valeur f (t) au point so. Deux telles
applications F coïncident sur un voisinage de (s,, t,).
9.3. Sous-fbrés intégrables
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr et F un sous-fibré vectoriel de classe Cs
de T(X), avec r, s dans NK, s < r - 1.