4 Soit J? un groupe discret opérant proprement et librement sur l'espace topologique X (TG, III, § 4, no 4). Soit Y un feuilletage de X, et supposons que, pour tout
s E r, l'application x t - - + sx soit un automorphisme de (X, Y). La relation d'équivalence sur X (resp. Y) dont les classes sont les orbites de I' est régulière (5.9.5). Si l'on
note XII' (resp. Y/r) la variété quotient correspondante, le couple @/r, Y/r) est
une variété feuilletée, dite quotient de (X, Y ) par P.
9.2.5. Soient Y un feuilletage de X et U un ouvert de X. Alors U est ouvert dans Y et
U, muni de la structure de variété induite par celle de Y, est un feuilletage de X, appelé
le facilletage induit par Y .
Plus généralement, soit f : X' -+ X un morphisme tel que f et l'application identique
Y + X forment un couple transversal (5.11.1). Le produit fibré Y' = X' x,Y
s'identifie canoniquement à un feuilletage de X' appelé le facilletage image réciproque
de Y par$
9.2.6. Soient p: X -t S et p': X' -t S' deux submersions, et soit f un morphisme de X
dans X'. Pour que f soit un morphisme de X, dans Xi., il faut et il suffit que, pour tout
x E X, il existe un voisinage ouvert U de x dans X et un morphisme g de p(U) dans Sr
tel que g op = p' 0 f sur U.
9.2.7. Soit Y un feuilletage de X. On appelle carte facilletante de (X, Y ) un quadruplet
(U, g>, E, F) tel que (U, q ~ , E) soit une carte de X, que F soit un sous-espace vectoriel
fermé de l'espace de Banach E admettant un supplémentaire topologique et que cp
soit un isomorphisme du feuilletage de U induit par Y sur le feuilletage de
défini
par l'application canonique de E sur E/F. Pour tout point x EX, il existe une carte
feuilletante (U, p, E, F) de (X, Y) telle que x E U. Soit n = dim, X et soit m = dim, Y.
Si n est fini, il existe un voisinage ouvert U de x et un système de coordonnées
tl, . . . ,5" de X sur U tel que le feuilletage de U induit par Y coïncide avec le feuilletage
défini par l'application (Cm+ l, . . . , 5") de U dans Kn-".
9.2.8. Soit Y un feuilletage de X. Lorsque x parcourt X, les espaces T,(Y) sont les
fibres d'un sous-fibré vectoriel de classe Cr-l de T G ) que l'on appelie le sous-jibré de
TG) tangent au feuilletage Y et que l'on note T(X, Y). Si le feuilletage Y est B é k i
par une submersion p: X -t S, alors T(X, Y) = Ker T b ) est le fibré tangent relatif
T(X/S) de X sur S (8.1.3).
Soient (X, Y) et (X', Y') deux variétés feuilletées, et soit f un morphisme de X dans
X'. Pour que f soit un morphisme de variétés feuilletées, il faut et il suffit que TCf)
applique T(X, Y) dans T@', Y'). En particulier, soit f: Z -t X un morphisme de
variétés; pour que f soit un morphisme de Z dans Y, il faut et il suffit que Tm applique
T(Z) dans TG, Y). Pour qu'une sous-variété Z de X soit une feuille de (X, Y), il faut
et il suifit que l'on ait
T,(Z) = Tz(X, Y)
pour tout z E Z.
Soit Y un feuilletage de X et soit U une feuille de Y, admettant une base dénombrable d'ouverts. Soient Z une variété et f une application de Z dans U. Pour que f soit
s E r, l'application x t - - + sx soit un automorphisme de (X, Y). La relation d'équivalence sur X (resp. Y) dont les classes sont les orbites de I' est régulière (5.9.5). Si l'on
note XII' (resp. Y/r) la variété quotient correspondante, le couple @/r, Y/r) est
une variété feuilletée, dite quotient de (X, Y ) par P.
9.2.5. Soient Y un feuilletage de X et U un ouvert de X. Alors U est ouvert dans Y et
U, muni de la structure de variété induite par celle de Y, est un feuilletage de X, appelé
le facilletage induit par Y .
Plus généralement, soit f : X' -+ X un morphisme tel que f et l'application identique
Y + X forment un couple transversal (5.11.1). Le produit fibré Y' = X' x,Y
s'identifie canoniquement à un feuilletage de X' appelé le facilletage image réciproque
de Y par$
9.2.6. Soient p: X -t S et p': X' -t S' deux submersions, et soit f un morphisme de X
dans X'. Pour que f soit un morphisme de X, dans Xi., il faut et il suffit que, pour tout
x E X, il existe un voisinage ouvert U de x dans X et un morphisme g de p(U) dans Sr
tel que g op = p' 0 f sur U.
9.2.7. Soit Y un feuilletage de X. On appelle carte facilletante de (X, Y ) un quadruplet
(U, g>, E, F) tel que (U, q ~ , E) soit une carte de X, que F soit un sous-espace vectoriel
fermé de l'espace de Banach E admettant un supplémentaire topologique et que cp
soit un isomorphisme du feuilletage de U induit par Y sur le feuilletage de
défini
par l'application canonique de E sur E/F. Pour tout point x EX, il existe une carte
feuilletante (U, p, E, F) de (X, Y) telle que x E U. Soit n = dim, X et soit m = dim, Y.
Si n est fini, il existe un voisinage ouvert U de x et un système de coordonnées
tl, . . . ,5" de X sur U tel que le feuilletage de U induit par Y coïncide avec le feuilletage
défini par l'application (Cm+ l, . . . , 5") de U dans Kn-".
9.2.8. Soit Y un feuilletage de X. Lorsque x parcourt X, les espaces T,(Y) sont les
fibres d'un sous-fibré vectoriel de classe Cr-l de T G ) que l'on appelie le sous-jibré de
TG) tangent au feuilletage Y et que l'on note T(X, Y). Si le feuilletage Y est B é k i
par une submersion p: X -t S, alors T(X, Y) = Ker T b ) est le fibré tangent relatif
T(X/S) de X sur S (8.1.3).
Soient (X, Y) et (X', Y') deux variétés feuilletées, et soit f un morphisme de X dans
X'. Pour que f soit un morphisme de variétés feuilletées, il faut et il suffit que TCf)
applique T(X, Y) dans T@', Y'). En particulier, soit f: Z -t X un morphisme de
variétés; pour que f soit un morphisme de Z dans Y, il faut et il suffit que Tm applique
T(Z) dans TG, Y). Pour qu'une sous-variété Z de X soit une feuille de (X, Y), il faut
et il suifit que l'on ait
T,(Z) = Tz(X, Y)
pour tout z E Z.
Soit Y un feuilletage de X et soit U une feuille de Y, admettant une base dénombrable d'ouverts. Soient Z une variété et f une application de Z dans U. Pour que f soit