9.2. Feuilletages
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr, avec r E NK. Sauf mention du contraire, toutes les variétés et tous les morphismes considérés sont supposés de classe Cr.
9.2.1. Soit S une variété, et soitp: X -+ S une submersion. Pour tout s E S, munissons
X, = p-l(s) de la structure de variété induite par celle de X (5.10.5); l'ensemble X est
réunion disjointe des X,. Notons Xp la stnicture de variété sur X obtenue par recollement des X,, pour s E S (5.2.4); c'est l'unique structure de variété sur X pour laquelle
les X, soient des sous-variétés ouvertes. L'espace topologique Xp est somme des
espaces X,.
Soient V une variété et f une application de V dans X. Pour que f soit un morphisme de V dans X,, il faut et il suffit que f soit un morphisme de V dans X et que
p 0 f soit localement constante.
9.2.2. On appelle feuilletage de X une variété Y ayant même ensemble sous-jacent
que X et satisfaisant à la condition suivante:
(F) Pour tout x E X, il existe une sous-variété ouverte U de X contenant x, une
variété S et une submersion p: U + S telles que la variété Up soit une sous-variété
ouverte de Y.
On dit aussi que le couple (X, Y) est une variété feuilletée. Si (X, Y ) et (X', Y') sont
des variétés feuilletées, on appelle morphisme de (X, Y ) dans (X', Y') toute application
fi X -t X' qui est à la fois un morphisme de la variété X dans la variété X' et un
morphisme de la variété Y dans la variété Y'.
Soit (X, Y) une variété feuilletée. L'application identique Y -t X est une immersion
bijective. Une partie U de X est appelée une feuille si c'est un ouvert de Y; dans ce cas,
on munit U de la structure topologique et de la structure de variété induites par celles
de Y; par exemple, on dit que U est une feuille connexe si c'est une partie ouverte et
connexe de Y. Les feuilles qui sont des sous-variétés de X forment une base de la
topologie de Y. Lorsque K = R ou C, les composantes connexes de Y sont des
feuilles, appelées feuilles connexes maximales de (X, Y).
9.2.3. Si s E NK, s < r, on appelle feuilletage de classe Cs de X un feuilletage de la
variété de classe CS sous-jacente à X.
9.2.4. Exemples
a) La variété X est un feuilletage de X, appelé le feuilletage grossier de X.
b) Si p: X -t S est une submersion, X, est un feuilletage de X, appelé le feuilletage
de X déjînipar p. Le feuilletage de X défini par l'application identique est l'ensemble X
muni de sa structure de variété pure de dimension O (5.2.1); on l'appelle le feuilletage
discret de X.
c ) Soient E un espace de Banach, F un sous-espace vectoriel fermé de E admettant
un supplémentaire topologique, et p la projection canonique E 4 E/F. Le feuilletage
E, de E est appelé le feuilletage de E défini par F.
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr, avec r E NK. Sauf mention du contraire, toutes les variétés et tous les morphismes considérés sont supposés de classe Cr.
9.2.1. Soit S une variété, et soitp: X -+ S une submersion. Pour tout s E S, munissons
X, = p-l(s) de la structure de variété induite par celle de X (5.10.5); l'ensemble X est
réunion disjointe des X,. Notons Xp la stnicture de variété sur X obtenue par recollement des X,, pour s E S (5.2.4); c'est l'unique structure de variété sur X pour laquelle
les X, soient des sous-variétés ouvertes. L'espace topologique Xp est somme des
espaces X,.
Soient V une variété et f une application de V dans X. Pour que f soit un morphisme de V dans X,, il faut et il suffit que f soit un morphisme de V dans X et que
p 0 f soit localement constante.
9.2.2. On appelle feuilletage de X une variété Y ayant même ensemble sous-jacent
que X et satisfaisant à la condition suivante:
(F) Pour tout x E X, il existe une sous-variété ouverte U de X contenant x, une
variété S et une submersion p: U + S telles que la variété Up soit une sous-variété
ouverte de Y.
On dit aussi que le couple (X, Y) est une variété feuilletée. Si (X, Y ) et (X', Y') sont
des variétés feuilletées, on appelle morphisme de (X, Y ) dans (X', Y') toute application
fi X -t X' qui est à la fois un morphisme de la variété X dans la variété X' et un
morphisme de la variété Y dans la variété Y'.
Soit (X, Y) une variété feuilletée. L'application identique Y -t X est une immersion
bijective. Une partie U de X est appelée une feuille si c'est un ouvert de Y; dans ce cas,
on munit U de la structure topologique et de la structure de variété induites par celles
de Y; par exemple, on dit que U est une feuille connexe si c'est une partie ouverte et
connexe de Y. Les feuilles qui sont des sous-variétés de X forment une base de la
topologie de Y. Lorsque K = R ou C, les composantes connexes de Y sont des
feuilles, appelées feuilles connexes maximales de (X, Y).
9.2.3. Si s E NK, s < r, on appelle feuilletage de classe Cs de X un feuilletage de la
variété de classe CS sous-jacente à X.
9.2.4. Exemples
a) La variété X est un feuilletage de X, appelé le feuilletage grossier de X.
b) Si p: X -t S est une submersion, X, est un feuilletage de X, appelé le feuilletage
de X déjînipar p. Le feuilletage de X défini par l'application identique est l'ensemble X
muni de sa structure de variété pure de dimension O (5.2.1); on l'appelle le feuilletage
discret de X.
c ) Soient E un espace de Banach, F un sous-espace vectoriel fermé de E admettant
un supplémentaire topologique, et p la projection canonique E 4 E/F. Le feuilletage
E, de E est appelé le feuilletage de E défini par F.