d'origine x et une seule telle que, pour tout a E )O, +a) et toute courbe intégrale
f : Da -t X d'origine x, on ait a < p(x) et f = fxlDa.
Pour tout X E C, soit crA(x) la borne supérieure de l'intervalle de vie de x pour le
champ de vecteurs AL sur la variété réelle déduite de X par restriction des scalaires.
On a p(x) = inf cc,(x).
l A l = 1
L'ensemble A des couples (x, t) E X x C tels que t E Do,, est ouvert dans X x C
et l'application f de A dans X définie par f(x, t) = f,(t) est un flot intégral de f. La
fonction p: X +)O, +a) est semi-continue inférieurement. Pour (x, t ) EA et y =
f (x, t), on a p(y) 2 p(x) - lt 1 . Si p est minorée sur X par une constante >O, on a
p = + c o e t A = X x C .
Lorsque A = X x C, l'application fi X x C -t X est une loi d'opération à droite
de la variété de groupe C dans la variété X.
9.1.6. Soient p: X + Y un morphisme de variétés et r ) un champ de vecteurs sur
Y tels que 8 soit plié à 7 (cf. 8.2.6). Sif: 1 + X est une courbe intégrale de f, i'application p of: 1 -+ Y est une courbe intégrale de 7. Si K = R et si X et Y sont séparées,
pour tout x E X, l'intervalle de vie de x pour f est contenu dans l'intervalle de vie de
p(x) pour 7. Si de plus p est propre, ces intervalles sont égaux.
9.1.7 (6 Équations dépendant du temps D ) . Soit W un ouvert de X x K et soit
E : W -t T(X) un relèvement de classe C V e pr, : W + X, c'est-à-dire une application de
classe CS de W dans T(X) telle que S(x, t) appartienne à Tx(X) pour tout (x, t) E W.
On appelle courbe intégrale de E une application f de classe CL (avec k E N, et
k < r), d'un ouvert 1 de K dans X telle que, pour tout t E 1, on ait
( f ( t ) , t) E W et f'(t) = E(f(t), t).
Soit 7 le champ de vecteurs de classe C%ur W défini par ~ ( x ,
t) = (Z(x, t ) , (t, 1)).
Pour qu'une application f d'un ouvert 1 de K dans X soit une courbe intégrale de 5, il
faut et il suffit que t n (f(t), t ) soit une courbe intégrale de T au sens de 9.1.1.
Soient g: 1 + W une courbe intégrale de r) et t, un point de 1 tel que pr2(g(to)) = to.
L'ensemble des éléments t E 1 tels que pr,(g(t)) = t est un voisinage de t, qui coïncide
avec 1 si 1 est connexe.
9.1.8 (4 Paramètres et conditions initiales )>). Soit Z une variété de classe @, soit W un
ouvert de X x K x Z, et soit E un relèvement de classe C q e pr,: W -+ X (8.6.1). Si
z E Z, on note W, l'ensemble des (x, t) E X x K tels que (x, t, z) E W, et on note E,
l'application (x, t) ++ E(x, t, z) de W, dans T(X).
Soit (x,, t,, z,) un point de W. Il existe alors un voisinage ouvert XI x 1, x Z,
de (x,, t,, z,) dans W et une application de classe Cs
f : X, x 1, X I , x Z 1 + X
tels que, quel que soit (x,, t,, z,) E X, x 1, x Z,, l'application t H f(x,, t,, t, z,) soit
une courbe intégrale de E,, (au sens de 9.1.7) vérifiant la relation f (x,, t,, t,, 2,) = x,.
Deux applications
f 1 : X l x I 1 x I 1 x Z 1 + X
et f 2 : X 2 x 1 2 x 1 2 x Z 2 + X
satisfaisant aux conditions ci-dessus coïncident dans un voisinage de (x,, t,, t,, z,).
f : Da -t X d'origine x, on ait a < p(x) et f = fxlDa.
Pour tout X E C, soit crA(x) la borne supérieure de l'intervalle de vie de x pour le
champ de vecteurs AL sur la variété réelle déduite de X par restriction des scalaires.
On a p(x) = inf cc,(x).
l A l = 1
L'ensemble A des couples (x, t) E X x C tels que t E Do,, est ouvert dans X x C
et l'application f de A dans X définie par f(x, t) = f,(t) est un flot intégral de f. La
fonction p: X +)O, +a) est semi-continue inférieurement. Pour (x, t ) EA et y =
f (x, t), on a p(y) 2 p(x) - lt 1 . Si p est minorée sur X par une constante >O, on a
p = + c o e t A = X x C .
Lorsque A = X x C, l'application fi X x C -t X est une loi d'opération à droite
de la variété de groupe C dans la variété X.
9.1.6. Soient p: X + Y un morphisme de variétés et r ) un champ de vecteurs sur
Y tels que 8 soit plié à 7 (cf. 8.2.6). Sif: 1 + X est une courbe intégrale de f, i'application p of: 1 -+ Y est une courbe intégrale de 7. Si K = R et si X et Y sont séparées,
pour tout x E X, l'intervalle de vie de x pour f est contenu dans l'intervalle de vie de
p(x) pour 7. Si de plus p est propre, ces intervalles sont égaux.
9.1.7 (6 Équations dépendant du temps D ) . Soit W un ouvert de X x K et soit
E : W -t T(X) un relèvement de classe C V e pr, : W + X, c'est-à-dire une application de
classe CS de W dans T(X) telle que S(x, t) appartienne à Tx(X) pour tout (x, t) E W.
On appelle courbe intégrale de E une application f de classe CL (avec k E N, et
k < r), d'un ouvert 1 de K dans X telle que, pour tout t E 1, on ait
( f ( t ) , t) E W et f'(t) = E(f(t), t).
Soit 7 le champ de vecteurs de classe C%ur W défini par ~ ( x ,
t) = (Z(x, t ) , (t, 1)).
Pour qu'une application f d'un ouvert 1 de K dans X soit une courbe intégrale de 5, il
faut et il suffit que t n (f(t), t ) soit une courbe intégrale de T au sens de 9.1.1.
Soient g: 1 + W une courbe intégrale de r) et t, un point de 1 tel que pr2(g(to)) = to.
L'ensemble des éléments t E 1 tels que pr,(g(t)) = t est un voisinage de t, qui coïncide
avec 1 si 1 est connexe.
9.1.8 (4 Paramètres et conditions initiales )>). Soit Z une variété de classe @, soit W un
ouvert de X x K x Z, et soit E un relèvement de classe C q e pr,: W -+ X (8.6.1). Si
z E Z, on note W, l'ensemble des (x, t) E X x K tels que (x, t, z) E W, et on note E,
l'application (x, t) ++ E(x, t, z) de W, dans T(X).
Soit (x,, t,, z,) un point de W. Il existe alors un voisinage ouvert XI x 1, x Z,
de (x,, t,, z,) dans W et une application de classe Cs
f : X, x 1, X I , x Z 1 + X
tels que, quel que soit (x,, t,, z,) E X, x 1, x Z,, l'application t H f(x,, t,, t, z,) soit
une courbe intégrale de E,, (au sens de 9.1.7) vérifiant la relation f (x,, t,, t,, 2,) = x,.
Deux applications
f 1 : X l x I 1 x I 1 x Z 1 + X
et f 2 : X 2 x 1 2 x 1 2 x Z 2 + X
satisfaisant aux conditions ci-dessus coïncident dans un voisinage de (x,, t,, t,, z,).