(x, O). Il existe un voisinage V de (x, O, O) dans X x K x K tel que, si (x, t,, t,) E V,
on ait
(x, ti) E W,
Cf@, ti), tz) E W, (x, ti + tz) E W
et
(2)
f U(x, ti), ta) = f (x, ti + tz).
Si X est paracompacte, ou si X est séparée et K = R ou C, il existe un flot intégral
de f dont le domaine est un voisinage de X x {O).
9.1.3 ((( Le cas réel )>). On suppose que K = R et que X est séparée. On appelle arc
intégral de f toute courbe intégrale de f dont le domaine est un intervalle ouvert
de R. Deux arcs intégraux f, et f, de 6, définis dans des intervalles 1, et I,, et coïncidant en un point de 1, n I,, coïncident dans 1, n 1,.
Pour tout point x E X, il existe un arc intégral d'origine x et un seul f,: 1, -t X tel
que, pour tout arc intégral f : 1 -t X d'origine x, on ait 1 c 1, et f = f,lI. L'arc f, est
appelé I'arc intégral maximal de 5 d'origine x, et son domaine 1, est parfois appelé
l'intervalle de vie du point x pour le champ 5.
Si 1, = ) -a-, a+ ( et si a + est fini, la restriction de f, à l'intervalle (0, a + ( est une
application propre de (O, a + ( dans X. En particulier, f (t) n'a pas de limite lorsque t
tend vers a + .
9.1.4. Avec les notations et les hypothèses de 9.1.3, l'ensemble Q des couples
(x, t) E X x R tels que t E 1, est ouvert dans X x R et l'application f: Q + X
définie par f (x, t) = f,(t) est de classe CS; c'est un flot intégral de f de domaine Q.
Les fonctions a + et a- : X +)O, +oc>) déhies par 1, = ) - cc-@),
a+(x)( sont semicontinues inférieurement. Pour (x, t) E SZ et y = f(x, t), on a a+(y) = a+(x) - t et
a-(y) = a&) + t.
Si t, E 1, et si t, E If(,, t,,, on a tl + t, E 1, et
Si la fonction a+ (resp. a-) est minorée sur X par une constante >O, elle est constante et égale à +oc>.
On a a + = a- = + oo (autrement dit, on a Q = X x R) dans chacun des cas
suivants :
(i) le champ f est à support compact (par exemple si X est compacte);
(ii) il existe un groupe d'automorphismes de X, transitif, et préservant f ;
*(iii) il existe sur X une structure riemannienne pour laquelle X soit complète et
f borné.,
Si Q = X x R, l'application f : X x R + X est une loi d'opération à droite de
classe Cs de la variété de groupe R dans la variété X, cf. 5.12.5.
9.1.5 (a Le cas complexe )>). On suppose que K = C et que X est séparée. Pour tout
a E )O, +a), notons Da le disque ouvert de centre O et de rayon a dans C. Pour tout
x E X, il existe un nombre p(x) E )O, +oc>) et un seul, une courbe intégrale f,: D,,, -t X
on ait
(x, ti) E W,
Cf@, ti), tz) E W, (x, ti + tz) E W
et
(2)
f U(x, ti), ta) = f (x, ti + tz).
Si X est paracompacte, ou si X est séparée et K = R ou C, il existe un flot intégral
de f dont le domaine est un voisinage de X x {O).
9.1.3 ((( Le cas réel )>). On suppose que K = R et que X est séparée. On appelle arc
intégral de f toute courbe intégrale de f dont le domaine est un intervalle ouvert
de R. Deux arcs intégraux f, et f, de 6, définis dans des intervalles 1, et I,, et coïncidant en un point de 1, n I,, coïncident dans 1, n 1,.
Pour tout point x E X, il existe un arc intégral d'origine x et un seul f,: 1, -t X tel
que, pour tout arc intégral f : 1 -t X d'origine x, on ait 1 c 1, et f = f,lI. L'arc f, est
appelé I'arc intégral maximal de 5 d'origine x, et son domaine 1, est parfois appelé
l'intervalle de vie du point x pour le champ 5.
Si 1, = ) -a-, a+ ( et si a + est fini, la restriction de f, à l'intervalle (0, a + ( est une
application propre de (O, a + ( dans X. En particulier, f (t) n'a pas de limite lorsque t
tend vers a + .
9.1.4. Avec les notations et les hypothèses de 9.1.3, l'ensemble Q des couples
(x, t) E X x R tels que t E 1, est ouvert dans X x R et l'application f: Q + X
définie par f (x, t) = f,(t) est de classe CS; c'est un flot intégral de f de domaine Q.
Les fonctions a + et a- : X +)O, +oc>) déhies par 1, = ) - cc-@),
a+(x)( sont semicontinues inférieurement. Pour (x, t) E SZ et y = f(x, t), on a a+(y) = a+(x) - t et
a-(y) = a&) + t.
Si t, E 1, et si t, E If(,, t,,, on a tl + t, E 1, et
Si la fonction a+ (resp. a-) est minorée sur X par une constante >O, elle est constante et égale à +oc>.
On a a + = a- = + oo (autrement dit, on a Q = X x R) dans chacun des cas
suivants :
(i) le champ f est à support compact (par exemple si X est compacte);
(ii) il existe un groupe d'automorphismes de X, transitif, et préservant f ;
*(iii) il existe sur X une structure riemannienne pour laquelle X soit complète et
f borné.,
Si Q = X x R, l'application f : X x R + X est une loi d'opération à droite de
classe Cs de la variété de groupe R dans la variété X, cf. 5.12.5.
9.1.5 (a Le cas complexe )>). On suppose que K = C et que X est séparée. Pour tout
a E )O, +a), notons Da le disque ouvert de centre O et de rayon a dans C. Pour tout
x E X, il existe un nombre p(x) E )O, +oc>) et un seul, une courbe intégrale f,: D,,, -t X