$9. Equations différentielles et feuilletages
Dans les nos 9.1,9.2 et 9.3, on suppose K de caractéristique 0. Dans le no 9.4, on suppose K de caractéristique p Z 0.
9.1. Courbes intégrales
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr et 5 un champ de vecteurs de classe Cs
sur X , avec r, s dans Ng, s < r - 1.
9.1.1. Soit 1 un ouvert de K, et soit f : 1 -t X une application de classe Ck (k E NE,
k < r) de 1 dans X. Pour t E 1, on note f'(t) le vecteur T,(f)(l) E T,,,(X); ce vecteur
est parfois appelé vitesse de f à l'instant t. Lorsque X est un espace de Banach, f'(t)
est la dérivée de f en t.
On dit que f est une courbe intégrale de 5 si Son a
pour tout t tr 1. Une teiie courbe est de classe Cs+ l .
Si x est un point de X, on appelle courbe intégrale de 6 d'origine x une courbe
intégrale f : 1 -t X de 5 telle que O E 1 et f (0) = x ; pour tout x E X, il existe une courbe
intégrale de 5 d'origine x, définie dans un voisinage ouvert convenable de O dans K.
Si f : 1 4 X est une courbe intégrale de 5 et si a E K, l'application t n f (t - a) de
1 + a dans X est une courbe intégrale de 5.
Soient f , : Il+ X et fi: I2 -f X deux courbes intégrales de 5, et t E 1, n 1,. Si
f,(t) = f2(t), les applicationsf, et f2 coïncident dans un voisinage de t.
9.1.2 (<< Flots ))). Soit W un ouvert de X x K. Pour tout x E X , notons W , Sensemble
des t E K tels que (x, t ) E W . On appelleflot intégral de 5 de domaine W une application
f de classe Ck (k < r) de W dans X telle que, pour tout x E X, l'application
f,: Wx 4 X déhie par f,(t) = f(x, t ) soit une courbe intégrale de 5, et que pour
(x, O) E W on ait f (x, 0) = x.
Pour tout point x EX, il existe un flot intégral de 4 de classe Cs dont le domaine
est un voisinage de (x, O) dans X x K. Deux flots intégraux de 4 définis au voisinage de
(x, 0) coïncident sur un voisinage de (x, O).
Soit x E X et soit f un flot intégral de f dont le domaine W est un voisinage de
Dans les nos 9.1,9.2 et 9.3, on suppose K de caractéristique 0. Dans le no 9.4, on suppose K de caractéristique p Z 0.
9.1. Courbes intégrales
Dans ce no, X désigne une variété de classe Cr et 5 un champ de vecteurs de classe Cs
sur X , avec r, s dans Ng, s < r - 1.
9.1.1. Soit 1 un ouvert de K, et soit f : 1 -t X une application de classe Ck (k E NE,
k < r) de 1 dans X. Pour t E 1, on note f'(t) le vecteur T,(f)(l) E T,,,(X); ce vecteur
est parfois appelé vitesse de f à l'instant t. Lorsque X est un espace de Banach, f'(t)
est la dérivée de f en t.
On dit que f est une courbe intégrale de 5 si Son a
pour tout t tr 1. Une teiie courbe est de classe Cs+ l .
Si x est un point de X, on appelle courbe intégrale de 6 d'origine x une courbe
intégrale f : 1 -t X de 5 telle que O E 1 et f (0) = x ; pour tout x E X, il existe une courbe
intégrale de 5 d'origine x, définie dans un voisinage ouvert convenable de O dans K.
Si f : 1 4 X est une courbe intégrale de 5 et si a E K, l'application t n f (t - a) de
1 + a dans X est une courbe intégrale de 5.
Soient f , : Il+ X et fi: I2 -f X deux courbes intégrales de 5, et t E 1, n 1,. Si
f,(t) = f2(t), les applicationsf, et f2 coïncident dans un voisinage de t.
9.1.2 (<< Flots ))). Soit W un ouvert de X x K. Pour tout x E X , notons W , Sensemble
des t E K tels que (x, t ) E W . On appelleflot intégral de 5 de domaine W une application
f de classe Ck (k < r) de W dans X telle que, pour tout x E X, l'application
f,: Wx 4 X déhie par f,(t) = f(x, t ) soit une courbe intégrale de 5, et que pour
(x, O) E W on ait f (x, 0) = x.
Pour tout point x EX, il existe un flot intégral de 4 de classe Cs dont le domaine
est un voisinage de (x, O) dans X x K. Deux flots intégraux de 4 définis au voisinage de
(x, 0) coïncident sur un voisinage de (x, O).
Soit x E X et soit f un flot intégral de f dont le domaine W est un voisinage de