SA w. Si la constante 1 est essentiellement intégrable pour ~(w), on dit que w est intégrable.
Soit maintenant p un entier, avec O < p < n, et soit w une forme différentielle
tordue de degré p sur X, à valeurs dans un espace de Banach E. Soit de plus Y une
sous-variété pure de dimensionp de X; supposons que l'injection canonique i: Y +- X
soit munie d'une orientation. L'image réciproque i*(w) (10.4.2) se note alors parfois
wlY. Si wlY est intégrable, on pose
10.4.4. Soit X une variété pure de dimension n, munie d'une orientation f . L'identification w H f @ w entre formes différentielles usuelles et formes différentielles tordues
permet d'appliquer ce qui précède aux formes de degré n sur X; ainsi, à toute forme
localement intégrable w, de degré n, est associée une mesure sur X, notée encore W. Si
E = R, une telle forme w est localement de module intégrable (10.1.5) et la mesure
mod(w), correspondante (10.1.6) n'est autre que la valeur absolue Iwl de la mesure w
ONT, III, 8 1, no 6).
10.4.5. Exemple. - Soit X une variété réelle pure de dimension 1, orientée, séparée,
et soit z: X + C une application différentiable de X dans C. La forme différentielle
complexe dz définit sur X une mesure complexe également notée dz. Ceci s'applique
notamment lorsque X est une sous-variété différentielle pure de dimension 1 de C,
a étant l'injection de X dans C.
Plus particulièrement, prenons pour X un cercle de centre O et de rayon p > 0;
orientons X comme indiqué dans 10.2.8, b), compte tenu de l'identification usuelle de
C avec R2; si x E X, l'espace tangent T,(X) s'identifie à la droite Rix de T,.(C) = C et
l'orientation choisie est la demi-droite R+ix. Si f est une fonction continue sur X, à
valeurs dans un espace de Banach complexe, l'intégrale de f pour la mesure dz est
donnée par la formule
Ix f (z) dr = ip Io2. @eia) eia du.
Par exemple, si n est un entier, on a
10.4.6 (<( Cas complexe O). Soit Xe une variété analytique complexe séparée, pure de
dimension m, et soit w une forme différentielle holomorphe de degré m sur XC. Soit X
la variété analytique réelle sous-jacente à Xc; la forme w s'identifie à une forme de type
(m, 0) sur X (8.8.9); soit W sa conjuguée (8.8.2). La forme im2w A W est une forme
différentielle réelle de degré 2m sur X; compte tenu de l'orientation canonique de X
(10.2.7), cette forme s'identifie à une mesure sur X, qui n'est autre que la mesure
positive mod(w), définie en 10.1.6, où p est la mesure définie par la forme différentielle
Soit maintenant p un entier, avec O < p < n, et soit w une forme différentielle
tordue de degré p sur X, à valeurs dans un espace de Banach E. Soit de plus Y une
sous-variété pure de dimensionp de X; supposons que l'injection canonique i: Y +- X
soit munie d'une orientation. L'image réciproque i*(w) (10.4.2) se note alors parfois
wlY. Si wlY est intégrable, on pose
10.4.4. Soit X une variété pure de dimension n, munie d'une orientation f . L'identification w H f @ w entre formes différentielles usuelles et formes différentielles tordues
permet d'appliquer ce qui précède aux formes de degré n sur X; ainsi, à toute forme
localement intégrable w, de degré n, est associée une mesure sur X, notée encore W. Si
E = R, une telle forme w est localement de module intégrable (10.1.5) et la mesure
mod(w), correspondante (10.1.6) n'est autre que la valeur absolue Iwl de la mesure w
ONT, III, 8 1, no 6).
10.4.5. Exemple. - Soit X une variété réelle pure de dimension 1, orientée, séparée,
et soit z: X + C une application différentiable de X dans C. La forme différentielle
complexe dz définit sur X une mesure complexe également notée dz. Ceci s'applique
notamment lorsque X est une sous-variété différentielle pure de dimension 1 de C,
a étant l'injection de X dans C.
Plus particulièrement, prenons pour X un cercle de centre O et de rayon p > 0;
orientons X comme indiqué dans 10.2.8, b), compte tenu de l'identification usuelle de
C avec R2; si x E X, l'espace tangent T,(X) s'identifie à la droite Rix de T,.(C) = C et
l'orientation choisie est la demi-droite R+ix. Si f est une fonction continue sur X, à
valeurs dans un espace de Banach complexe, l'intégrale de f pour la mesure dz est
donnée par la formule
Ix f (z) dr = ip Io2. @eia) eia du.
Par exemple, si n est un entier, on a
10.4.6 (<( Cas complexe O). Soit Xe une variété analytique complexe séparée, pure de
dimension m, et soit w une forme différentielle holomorphe de degré m sur XC. Soit X
la variété analytique réelle sous-jacente à Xc; la forme w s'identifie à une forme de type
(m, 0) sur X (8.8.9); soit W sa conjuguée (8.8.2). La forme im2w A W est une forme
différentielle réelle de degré 2m sur X; compte tenu de l'orientation canonique de X
(10.2.7), cette forme s'identifie à une mesure sur X, qui n'est autre que la mesure
positive mod(w), définie en 10.1.6, où p est la mesure définie par la forme différentielle