no 8
LE CALCUL DIFFÉRENTIEL D'ORDRE 1
23
8.8.5. Outre les hypothèses précédentes, on suppose k 2 1. Les trois conditions
suivantes sont alors équivalentes :
(i) Pour tout ouvert U de X et pour tout couple (f, q) de champs de vecteurs complexes sur U, de classe Ck, tel que t(x) et q(x) appartiennent à TL@) pour tout x E U,
on a [f, q](x) E TL@) pour tout x E U.
(ii) Pour tout ouvert U de X et tout couple (f, q) de champs de vecteurs (réels) sur
U, de classe Ck, on a
if, 71 + jLi& rll + j[f,hI - lif,RI = o.
(iii) Pour tout ouvert U de X et pour toute forme différentielle complexe w de type
(1,O) sur U, de classe Ck, la composante de type (0,2) de dw est nulle.
Supposons que ces conditions soient vérifiées. Soit w une forme différentielle
de type (p, q) sur un ouvert U de X, de classe Ch avec 1 < h < k, à valeurs dans un
espace de Banach complexe F. On note d'w (resp. d"w) la composante de type (p + 1, q)
(resp. (p, q + 1)) de dw; les autres composantes de dw sont alors nulles et l'on a
(2)
dw = d' w + d"w.
Si k 2 2, on a
Avec les notations de 8.8.4, exemple b), on a
(4)
d'(wl A w") = d'(wf) A u" + (- l)P'f q'w' A d'(wl')
(5)
A w")
dd"(~') A
+ ( - 1 ) ~ ' + 4 ' ~ ~
A dR(~'').
Avec celles de 8.8.4, exemple c), on a
-
(6)
d'(G) = dn(w).
Dans les formules (4) et (5) (resp. (6)), les formes différentielles w' et w" (resp. w)
sont supposées de classe Cl.
8.8.6 (G Structure presque complexe d'une variété complexe )>). Soit XC une variété
analytique complexe, admettant X comme variété analytique réelle sous-jacente
(5.14.2.a)). Le fibré T(X) s'identifie au fibré vectoriel (réel) sous-jacent au fibré vectoriel complexe T m ) , ce qui munit X d'une structure presque complexe de classe Ca,
dite définie par la structure de variété analytique complexe donnée sur X. Cette
structure presque complexe satisfait aux conditions (i) à (iii) de 8.8.5; en particulier,
les opérateurs d' et d de 8.8.5 sont définis. Si fi Xc --+ Yc est un morphisme de
variétés analytiques complexes, f * cornmute aux opérateurs d' et d".
8.8.7. Conservons les hypothèses et notations de 8.8.6. Soit XC la conjuguée de Xc
(5.14.2.b)). Plongeons X par l'application diagonale x H (x, x) dans la variété complexe XC x X", et soit g l'anti-automorphisme (x, y) ++ (y, x) de Xc x XC. Le couple
(X" x F , g) est une complexiJication de X (5.14.8). En particulier, pour tout x E X,
l'espace tangent T,(F x XC) s'identifie à T,(X) @ C; dans cette identification,
Tx(XC x (x)) correspond à Tj(X) et T,({x) x
correspond à T ; ( X ) .
LE CALCUL DIFFÉRENTIEL D'ORDRE 1
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8.8.5. Outre les hypothèses précédentes, on suppose k 2 1. Les trois conditions
suivantes sont alors équivalentes :
(i) Pour tout ouvert U de X et pour tout couple (f, q) de champs de vecteurs complexes sur U, de classe Ck, tel que t(x) et q(x) appartiennent à TL@) pour tout x E U,
on a [f, q](x) E TL@) pour tout x E U.
(ii) Pour tout ouvert U de X et tout couple (f, q) de champs de vecteurs (réels) sur
U, de classe Ck, on a
if, 71 + jLi& rll + j[f,hI - lif,RI = o.
(iii) Pour tout ouvert U de X et pour toute forme différentielle complexe w de type
(1,O) sur U, de classe Ck, la composante de type (0,2) de dw est nulle.
Supposons que ces conditions soient vérifiées. Soit w une forme différentielle
de type (p, q) sur un ouvert U de X, de classe Ch avec 1 < h < k, à valeurs dans un
espace de Banach complexe F. On note d'w (resp. d"w) la composante de type (p + 1, q)
(resp. (p, q + 1)) de dw; les autres composantes de dw sont alors nulles et l'on a
(2)
dw = d' w + d"w.
Si k 2 2, on a
Avec les notations de 8.8.4, exemple b), on a
(4)
d'(wl A w") = d'(wf) A u" + (- l)P'f q'w' A d'(wl')
(5)
A w")
dd"(~') A
+ ( - 1 ) ~ ' + 4 ' ~ ~
A dR(~'').
Avec celles de 8.8.4, exemple c), on a
-
(6)
d'(G) = dn(w).
Dans les formules (4) et (5) (resp. (6)), les formes différentielles w' et w" (resp. w)
sont supposées de classe Cl.
8.8.6 (G Structure presque complexe d'une variété complexe )>). Soit XC une variété
analytique complexe, admettant X comme variété analytique réelle sous-jacente
(5.14.2.a)). Le fibré T(X) s'identifie au fibré vectoriel (réel) sous-jacent au fibré vectoriel complexe T m ) , ce qui munit X d'une structure presque complexe de classe Ca,
dite définie par la structure de variété analytique complexe donnée sur X. Cette
structure presque complexe satisfait aux conditions (i) à (iii) de 8.8.5; en particulier,
les opérateurs d' et d de 8.8.5 sont définis. Si fi Xc --+ Yc est un morphisme de
variétés analytiques complexes, f * cornmute aux opérateurs d' et d".
8.8.7. Conservons les hypothèses et notations de 8.8.6. Soit XC la conjuguée de Xc
(5.14.2.b)). Plongeons X par l'application diagonale x H (x, x) dans la variété complexe XC x X", et soit g l'anti-automorphisme (x, y) ++ (y, x) de Xc x XC. Le couple
(X" x F , g) est une complexiJication de X (5.14.8). En particulier, pour tout x E X,
l'espace tangent T,(F x XC) s'identifie à T,(X) @ C; dans cette identification,
Tx(XC x (x)) correspond à Tj(X) et T,({x) x
correspond à T ; ( X ) .